4.5 设随机变量序列??n?同时依概率收敛于随机变量?与?，证明这时必有P(???)?1。
?????证：对任意的??0有???????????n?????，故
2??????????0?P????????P????n???P??n?????0,n?0
2?2???即对任意的??0有P????????0成立，于是有
???1????1?P??????P???????????P???????0
k??k?1?k??k?1?从而P(???)?1成立，结论得证。
?n?分别依概率收敛于随机变量?与?，证明： 4.6 设随机变量序列??n?，?PP?????；?????。 （1）?n??n?（2）?n??n?????????证：（1）因为??????n??n?????????n???????n???故
2??2??????????0?P(?????n??n??)?P????n???P????n???0,n??
2?2???P?????成立。 即?n??n?M?1?????P???2。?1?，（2）先证明这时必有?n2?对任给的??0,??0取M足够大?使有P??????2???M????成立，对取定的M，存在N，当n?N时有P??n???1??P??n??????成立这时有
M??P??n???M??P??n???2??M?
??n???2??M????n???1?? ?P{(|?n??|?|2?|?M)?(|?n??|?1)} ?P??P(|2?|?M?1)?P(|?n??|?1)?2?
从而有
P(|?n2??2|??)?P(|?n??||?n??|??)?P{(|?n??||?n??|??)?(|?n??|?M)}?P{(|?n??||?n??|??)?(|?n??|?M)} ?P(|?n??|?
?M)?P(|?n??|?M)?3?46
由?,?的任意性知???，同理可证???2，由前述（1）有
2?n?n?(?n??n)?????(???)2????2?2??
P?????，结论成立。 故?n??n?2nP22nP22n2nPP??a，a?0是一个常数，且?n?0，证明4.7 设随机变量序列?n?1?nP???1。 a证：不妨设a?0对任意的0???a，当?n?a??时有?na?a2?a(?n?a)?a2?a?，
??n?a???n?a????因而???????2??。于是有 ??aa?a???n???11?? 0?P????????na????????n?a?n?a????????????????n?a?????P????????n?a???? ?P???????????na????na???n?a?? ?P????a2?a???P??n?a????0,n??。
??结论成立。
4.9 证明随机变量序列??n?依概率收敛于随机变量?的充要条件为：
E?n???0,n??
1??n??证：充分性，令f(x)?1x?0,x?0，故f(x)是x(x?0)的单调上升函数，，x?0，则f'(x)?2(1?x)1?x??n??????因而??n????????1?|???|1???，于是有
n????n?????? P??n??????P????1??n??1????n??E?0,n?? ??1??n??1??对任意的??0成立，充分性得证。
P???，故存在充分大的N使得当n?N必要性，对任给的??0，令A????:?n?????，因为?n?时有P(A?)??，于是有
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E??n????n???n????E?I?E()IA? A???1??n??1??n???1??n??? ?P(A?)???2?， 由?的任意性知E?n???0,n??，结论为真。
1??n??4.10 设随机变量?n按分布收敛于随机变量?，又数列an?a，bn?b，证明an?n?bn也按分布收敛于a??b。
证：先证明a?n按分布收敛于a?。a?0时为显然，不妨设a?0（a?0时的修改为显然），若a?，
?，a?n，?n的分布函数分别记作Fa????，F????，Fa?n???与Fn???，则Fa??x?=F???，当x是Fa????的连续点时，
x是F????的连续点，于是有 a?x??x?limFa?n(x)?limFn???limF????Fa?(x) n??n???a?n???a??x??a?成立，结论为真。由4.12知?n(an?a)?0，再由4.6(1)知?n(an?a)?bn?b，于是由前述结论及4.11知?nan?bn?a?n?(an?a)?n?bn按分布收敛于a??b，结论得证。
4.11设随机变量序列{?n}按分布收敛于随机变量?，随机变量序列{?n}依概率收敛于常数a，证明?n??n按分布收敛于??a。
证：记?,?n的分布函数分别为F(x),Fn(x)，则??a的分布函数为F(x?a)，设x是F(x?a)的连续点，则对任给的??0，存在??0，使当0?????时有
|F(x?a???)?F(x?a)|?? （1）
现任取0??1??2??，使得x?a??1,x?a??2都是F(?)的连续点，这时存在N1，当n?N1时有
|F(x?a??1)?Fn(x?a??1)|?? （2） |F(x?a??2)?Fn(x?a??2)|?? （3）
PP对取定的?1，存在N2，当n?N2时有
P(|?n?a|??1)?? （4）
于是当n?max(N1,N2)时，由（1），（2），（4）式有
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P(?n??n?a)?x?a)?P{(?n??n?a?x?a)?(|?n?a|??1)}?P{(?n??n?a?x?a)?(|?n?a|??1)}又因为 ?P(?n?x?a??1)?P(|?n?a|??1)?F(x?a)?3?(5)
P(?n?x?a??2)?P{[?n??n?(?n?a)?x??2]?(|?n?a|??2)}?P{(?n?x?a??2)?(|?n?a|??2)}于是由（1），（3），（4）式有
P(?n??n?a?x?a)?P{[?n??n?(?n?a)?x??2]?(|?n?a|??2)}?P(?n?x?a??2)?P(|?n?a|??2?F(x?a)?3?|P(?n??n?a?x?a)?F(x?a)|?3?
（6）
由（5），（6）两式可得
由?的任意性即知?n??n按分布收敛于??a，结论得证。
4.12设随机变量序列{?n}按分布收敛于?，随机变量序列{?n}依概率收敛于0，证明
?n?n?0.
证：记?,?n的分布函数分别为F(x),Fn(x)，对任给的??0，取a?0,b?0足够大，使?a,b是F(x)的连续点且
1?F(b)??,F(?a)??
P因为Fn(x)?F(x)，故存在N1，当n?N1时有
1?Fn(b)?2?,Fn(?a)?2?
W令M?max(a,b)，因为?n?0，故存在N2，当n?N2时有
P(|?n|?P?M)??
而
P(|?n?n|??)?P{(|?n?n|??)?[(?a??n?b)?(|?n|??P{(|?n?n|??)?[(?a??n?b)?(|?n|??M)]}?M
)]}?I1?I2其中I1?0，当n?max(N1,N2)时有
P{(|?n?n|??)?(?a??n?b)}?P{(?a??n?b)}?P{(?n??a)?(?n?b)}?Fn(?a)?[1?Fn(b)]?4?因而P(|?n?n|??)?I2?5?，由?的任意性知?n?n?0，结论为真。
P
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4.13 设随机变量?n服从柯西分布，其密度函数为
pn(x)?n
?(1?n2x2)证明?n?0,n??。 证：对任意的??0，有
n?n1P?P(|?n|??)?????(1?n2x2)dx???n??(1?t2)dt?1,n?? 故?Pn?0,n??。
4.14 设{?n}为一列独立同分布随机变量，其密度函数为
p(x)???1??0?x????0其它
其中??0为常数，令?Pn?max(?1,?2,?,?n)，证明?n??。 证：对任意的n，0??n??为显然，这时有
nnP(?n?x)??P(?x1i?x)?i?1?i?1?0?dx?(x?)n,0?x??
P(?n?x)?0,x?0;P(?n?x)?1,x??
对任意的??0(???)，有
P(|?n??|??)?P(?n????)?(????)n?0,n?? 故?Pn??成立，结论得证。
4.15 设{?n}为一列独立同分布随机变量，其密度函数为
p(x)???e?(x?a)x?a?0x?a
令?Pn?min(?1,?2,?,?n)，证明?n?a。 证：设?i的分布函数为F(x)，有
?1?e?(x?a)F(x)??x?a?0x?a
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