?P(?1?n1,?,?r?nr)?
P(?1???r?n)由于?1，?2，…，?r相互独立且服从同一几何分布，所以
P(?1??2????r?n)??r(?q?pki?1)???n?1??rpn?rr?1??q。
kk1???kr?ni?1??i?11,?,2,,?i?rP(?,?qrpn?r从而11?n1,?r?nr|?1??2????r?n)???n?1???1。 ?rn?r?n??r?1???qp???r?1???第三章 连续型随机变量
3.1 设随机变数?的分布函数为F(x)，试以F(x)表示下列概率： （1）P(??a)；（2）P(??a)；（3）P(??a)；（4）P(??a) 解：（1）P(??a)?F(a?0)?F(a)； （2）P(??a)?F(a?0)； （3）P(??a)=1-F(a)； （4）P(??a)?1?F(a?0)。
3.2 函数F(x)?11?x2是否可以作为某一随机变量的分布函数，如果 （1）???x??? （2）0?x??，在其它场合适当定义； （3）-??x?0，在其它场合适当定义。解：（1）F(x)在（-?,?）内不单调，因而不可能是随机变量的分布函数； （2）F(x)在（0，?）内单调下降，因而也不可能是随机变量的分布函数； （3）F(x)在（-?,0)内单调上升、连续且F(??,0)，若定义
F~(x)???F(x)???x?0?1x?0
则F~(x)可以是某一随机变量的分布函数。
3.3 函数sinx是不是某个随机变数?的分布密度？如果?的取值范围为 （1）[0,?2]；（2）[0,?]；（3）[0,32?]。 ?解：（1）当x?[0,?2]时，sinx?0且?20sinxdx=1，所以sinx可以是某个随机变量的分布密度；
（2）因为
?x0sinxdx=2?1，所以sinx不是随机变量的分布密度；
21
（3）当x?[?,?]时，sinx?0，所以sinx 不是随机变量的分布密度。
3.4 设随机变数?具有对称的分布密度函数p(x)，即p(x)?p(?x),证明：对任意的a?0,有（1）
32F(?a)?1?F(a)?12??a0p(x)dx； （2）P（??a)?2F(a)?1； （3）P(??a)?2?1?F(a)?。
证：（1）F(?a)???adx?1?????p(x)?ap(x)dx
=1????ap(?x)dx?1??a??p(x)dx
=1?F(a)?1??0??p(x)dx
??a0p(x)dx?12??a0p(x)dx；
（2）P(??a??ap(x)dx?2?a?a0p(x)dx，由（1）知
1-F(a)?12??a0p(x)dx 故上式右端=2F(a)?1；
（3）P(??a)?1?P(??a)?1?[2F(a)?1]?2[1?F(a)]。
3.5 设F1(x)与F2(x)都是分布函数，又a?0,b?0是两个常数，且a?b?1。证明
F(x)?aF1(x)?bF2(x)
也是一个分布函数，并由此讨论，分布函数是否只有离散型和连续型这两种类型？
证：因为F1(x)与F2(x)都是分布函数，当x1?x2时，F1(x1)?F1(x2)，F2(x1)?F2(x2)，于是
F(x1)?aF1(x1)?bF2(x1)?aF1(x2)?bF2(x2)?F(x2)
又
xlim???F(x)?xlim???[aF1(x)?bF2(x)]?0
limF(x)?xlim??[aF1(x)?bF2(x)]?a?b?1
x??F(x?0)?aF1(x?0)?bF2(x?0)?aF1(x)?bF2(x)?F(x)
所以，F(x)也是分布函数。
取a?b?12，又令 ?x?0Fx)???0x?01(?1x?0Fx)??02(?x0?x?1
??1x?1
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这时
?0?1?xF(x)???2?1x?00?x?1 x?1显然，与F(x)对应的随机变量不是取有限个或可列个值，故F(x)不是离散型的，而F(x)不是连续函数，所以它也不是连续型的。
3.6 设随机变数?的分布函数为
?1?(1?x)e?xF(x)??x?0?0x?0 求相应的密度函数，并求P(??1)。 解：
ddx[1?(1?x)e?x]?xe?x，所以相应的密度函数为 x)???xe?xp(x?0?0x?0
P(??1)?F(1)?1?2e。
3.7 设随机变数?的分布函数为
?0x?0F(x)???Ax20?x?1 ??1x?1求常数A及密度函数。
解：因为F(1?0)?F(1)，所以A?1，密度函数为
p(x)???2x0?x?1?0其它 3.8 随机变数?的分布函数为F(x)?A?Barctgx，求常数A与B及相应的密度函数。 解：因为limF(x)?A??x???B(?2)?0
limF(x)?A??x???B2?1
所以
A?12,B?1? 因而
F(x)?12?1?arctgx,p(x)?F?(x)?1?(1?x2)。
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3.9 已知随机变数?的分布函数为
?x?p(x)??2?x?0?0?x?11?x?2 其它（1） 求相应的分布函数F(x)； 2.求P(??0.5),P(??1.3),P(0.2???1.2)。
x?0?0?x12ydy?x0?x?1???02解：F(x)?? 1x12??ydy??(2?y)dy?2x?x?11?x?212?0?x?2?118P(??1.3)?1?P(??1.3)?1?F(1.3)?0.245 P(0.2???1.2)?F(1.2)?F(0.2)?0.66P(??0.5)?F(0.5)?3.10确定下列函数中的常数A，使该函数成为一元分布的密度函数。 （1）p(x)?Ae?x????Acosx??x?； （2）p(x)??22 （3）
?其它?0?0?Ax2?p(x)??Ax?0?1?x?22?x?3 其它解：（1）
????Ae?xdx?2A?e?xdx?2A?1所以A??1； 2 （2）
28129622cosxdx?2A?1，所以A=; (3),所以。 Axdx?Axdx?A?1A?Acosxdx?2A?????2?0122629?23.12 在半径为R,球心为O的球内任取一点P,求??oP的分布函数。 解：当0?x?R时
430??x?xxF(x)P(??x)?3?()3 所以 F(x)??()343R?R?R?13x?00?x?R x?R3.13 某城市每天用电量不超过一百万度，以?表示每天的耗电率（即用电量除以一万度），它具有分布密度为
?12x(1?x)20?x?1p(x)??
0其它?若该城市每天的供电量仅有80万度，求供电量不够需要的概率是多少？如每天供电量90万度又是怎样呢？
解： P(??0.8)??10.812x(1?x)2dx?0.0272 P(??0.9)??12x(1?x)2dx?0.0037
0.91因此，若该城市每天的供电量为80万度，供电量不够需要的概率为0.0272,若每天的供电量为90万度，则
供电量不够需要的概率为0.0037。
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3.14
设随机变数?服从（0，5）上的均匀分布，求方程
4x2?4?x???2?0
有实根的概率。 解：当且仅当
(4?)?16(??2)?0 （1） 成立时，方程4x?4?x???2?0有实根。不等式（1）的解为：??2或???1。 因此，该方程有实根的概率
2213p?P(??2)?P(???1)?P(??2)??dx?。
25553.17 某种电池的寿命?服从正态N(a,?)分布，其中a?300（小时），??35（小时）
(1) 求电池寿命在250小时以上的概率； （2）求x，使寿命在a?x与a?x之间的概率不小于0.9。 解：（1）P(??250)?P( =P(2??30035??1.43)
??30035?1.43)??(1.43)?0.9236；
x??300x ??353535 （2）P(a?x???a?x)?P(? =?(xxx)??(?)?2?()?1?0.9 353535xx即 ?()?0.95 所以 ?1.65 即 x?57.75
35353.18 设?(x)为N(0,1)分布的分布函数，证明当x?0时，有
y22y2212?e?x221.?1??(x)?x12?e?x2211(?3) xx证： 1??(x)?1??2??x221x??e?dy???2?1ey2?y221?xe?dy
=
12?x22e11.?x2??xdy
y22 =
x22111e(?3)?xx2?2?12?e?x221??x3e4y?dy
所以
12?e?1.?1??(x)?x11(?3)。 xx3.21 证明：二元函数
?1x?y?0 F(x,y)???0x?y?0 对每个变元单调非降，左连续，且F(??,y)?F(x,??)?0，F(??,??)?0，但是F(x,y)并不是一个分布函数。
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