解：p?(x)??1?x2dy?1?x2??21?x2?,(|x|?1);p?(x)?0,(|x|?1)。
同理，p?(y)?21?y2?,(|y|?1);p?(y)?0,(|y|?1)。
由于p(x,y)?p?(x)p?(y)，所以?与?不相互独立。
又因p(x,y),p?(x),p?(y)关于x或关于y都是偶函数，因而E??E??E(??)?0，故cov(?,?)?0， ?与?不相关。
3.41 设某类电子管的寿命（以小时计）具有如下分布密度：
?100?x?100p(x)??x2
?x?100?0一台电子管收音机在开初使用的150小时中，三个这类管子没有一个要替换的概率是多少？三个这类管子全部要替换
的概率又是多少？（假设这三个管子的寿命分布是相互独立的） 解：设这类电子管的寿命为?，则
P(??150)??3所以三个这类管子没有一个要替换的概率为(2)?81002 dx?150x23?3273；三个这类管子全部要替换的概率是(1?2)?1327。
3.44 对球的直径作近似测量，设其值均匀分布在区间[a,b]内，求球体积的密度函数。 解：设球的直径为?，则其体积为??131??。y??x3的反函数x?36y?,dx?266336?y2dy。由?的密度函数
p?(x)?1(b?a)，a?x?b，得?的密度函数为
2??p?(y)??(b?a)?336?y2?0?3.45 设随机变数?服从N(0,1)分布，求?的分布密度。 解：在x?0时，
?6a3?y??6其它。b3,
P(??x)?P(?x???x)??所以?的分布密度
x12??xe?t22dt。
p?(x)?2/??e?x,(x?0);p?(x)?0,(x?0)。
?3.46 设随机变数?服从N(a,?)分布，求e的分布密度。
22/2 31
解：
y?ex的反函数x?lny,dx?1/y?dy。由?服从N(a,?2)分布，推得??e?的分布密度为
?1?12??oxp??(lny?a)??y?0, 2p?(y)??2??y?2???y?0.?03.47 随机变数?在任一有限区间?a,b?上的概率均大于0（例如正态分布等），其分布函数为F?(x)，又?服从?0,1?上的均匀分布。证明??F?(?)的分布函数与?的分布函数相同。
解：因为?在任一有限区间?a,b?上的概率均大于0，所以F?(x)是严格上升函数。由于?0,1?上的均匀分布，所以?的分布函数F?(x)?P(??x)?P(F?(?)?x)?P(??F?(x)?F?(x)，对任意的x都成立。所以?与?的分布函数相同。
3.48 设随机变量?与?独立，求???的分布密度。若（1）?与?分布服从(a,b)及(?,?)上的均匀分布，且（2）?与?分别服从(?a,0)及(0,a)上的均匀分布，a?0。 a???b??；
解（1）p?(x)?1/(b?a),a?x?b;p?(x)?0,其它。 p?(x)?1/(???),??x??;p?(y)?0，其它。
?1?1p???(x)??p?(x?y)?p?(y)dy
??? =
1?man(x?b,?)(b?a)(???)dy
min(x?a,?) =?min(x?a,?)?max(x?b,?)?/?(b?a)(???)?,a???x?b??;p???(x)?0，其它。 （2）p?(x)?1/a,?a?x?0;p?(x)?0，其它， p?(x)?1/a,0?x?a;p?(x)?0，其它。
p???(x)??p?(x?y)?p?(y)dy?????min(x?a,?)max(x,0)21/a2dy
=?min(x?a,a)?max(x,0)?/a
=
a?xa2,?a?x?a;p???(x)?0，其它
3.49 设随机变量?与?独立，服从相同的拉普拉斯分布，其密度函数为
p(x)?求?+?的密度函数。
1?x/a?e,(a?0) 2a32
1解： p?(x)?p?(x)??2a?ex/a， p????(x)????p?(x?y)?p?(y)dy，
当x?0时，
p??|x?y|?|???(x)??1??4a2exp???y|?a??dyx?y?y?10?ax?x?y?ya4a2[???edy??0edy????y?x?yaxedy]
?1x?x4a(1?a)ea当x?0时，
x?y?yy?x?yp(x)?1x????a4a2[???edy??0?y?x?yaxedy????a0edy]?1a(1?xxa)ea4所以
p1?|x|???(x)?4a2(a?|x|)ea
3.50 设随机变量?与?独立，服从相同的柯西分布，其密度函数为
p(x)?1?(1?x2)
证明：??12(???)也服从同一分布。 证：
p11???(y)???1???21?x21?(y?x)2dx?1?2x?y2(x?y)??y(y2?4)???[x2?1?y2(x?y)2?1]dx?1
?y(y2?4)x2?1)?yarctgx?ln((x?y)2?1)?yarctg(x?y)]|?2[ln(???2?(y2?4)所以
p12(???)(z)?21?[(2z)2?4]2??(1?z2) 即??12(???)也服从相同的柯西分布。 3.51 设随机变量?与?独立，分别具有密度函数
??e??xpx?0?(x)???0x?0
33
??e??xp?(x)???0（其中??0,??0），求?+?的分布密度。 解：x?0时，
x?0 x?0p???(x)???e??(x?y)?e??ydy0x???e??x?xe?(???)ydy
0???????x???(???)[eex],??????2xe??x,???x?0时，
p???(x)?0
3.53 设随机变量?与?独立，都服从(0,1)上的均匀分布，求|???|的分布。 解：??服从(?1,0)上的均匀分布，据3.48(2)知，
p?x?1?1?x?0???(x)?[min(x?1,1)?max(x,0)]?? ?1?x0?x?1在0?x?1时，|???|的分布函数
F(x)?P(|???|?x)?P(?x?????x)??0(t?1)dt??x(1?t)dt?2x?x2
?x0所以|???|的分布密度为
p?2(1?x)0?x?1|???|(x)?? ?0其它3.54 设随机变量?与?独立，分别服从参数为?与?的指数分布，求???的分布密度。解：由p?(x)??e??x,x?0得p??(x)??e?x,x?0，所以
p????(x)????p?(y)p??(x?y)dy
在x?0时，
p???(x)?????y(x?y)0?e?e?dy???e?x(???)
在x?0时，
p?????(x)????e?x?e?(x?y)dy???e??x(???)
所以
34
???e?xx?0?(???)p???(x)?? ??x??e?x?0(???)?3.56 设随机变量?与?独立，且分别具有密度函数为
1??p?(x)???1?x2??0|x|?1|x|?1
??2y)??xe?xp2?(x?0
??0x?0证明??服从N(0,1)分布。 证：由p?x2?(x)?xe2,x?0得p?3?11(x)2x2,??xex?0。故
py)?p???(?1(y)?????|x|p?(yx)p?(x)dx
令12x2?u?y22，则
p1?y22?1??(y)?2?u12?e??0uedu?2?e?y22所以??服从N(0,1)分布。
3.58 设随机变量?与?独立，都服从(0,a)上的均匀分布，求??的密度函数。
解：p(x)???p1??????(xz)p?(z)|z|dz?a?0zp?(xz)dz
当0?x?1时，
p1a?(x)??1?a2?0zdz2 当x?1时
p1ax1?(x)??a2?0zdz?2x2 所以??的密度函数为
35