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西北工业大学明德学院数学建模竞赛暨全国大学生数学建
模竞赛选拔赛题目
A题
密封号
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密封号
西北工业大学明德 学院 第 J 9009 队 姓名 班级
2014年8月31日 2014年8月31日 队员1 杨琳 121202
队员2 张阳 121202 队员3 田列敏 121202 西北工业大学明德学院数学建模竞赛
摘 要
本文讨论的是飞机失事后求解黑匣子方位的问题。建立数学模型，分析当飞机失去动力后在空中的运动轨迹。在综合考虑洋流、海水粘滞阻力、等因素后建立运动学微分方程，将黑匣子沉降过程用数学表达式模拟出来，进而达到寻找到黑匣子的目的。全文运用平抛运动经验，将三维空间转换为东北方向的二维坐标。将运动状态正交分解到各个方向，依次建立模型进行运动特点的分析。
针对问题一。用运动力学将运动状态正交分解，单方向运动状态为变速直线运动。运用牛顿第二定理，根据坐标和经纬度知识，结合题目以及得出的结果，给出确切的落水点位置：最终所得飞机以垂直225°1′32″的角度、339.993m/s的速度坠入南纬21°56′12″，东经88°3′47″位置，距离事故发生处为9939.9米。并用photoshop画图软件绘制出其飞行轨迹如图5-6。
针对问题二。运用等效代替法，将两个恒力重力，浮力进行等效代替。受力分析后发现，运动状态与模型一完全一致，故运用模型一求解。解得黑匣子沉在海底位置的坐标（3929.79,-4000）在区域Ⅰ范围内。
针对问题三。根据查资料得洋流的流速以及方向，对问题二水平初速度进行等效代替，只要加上垂直方向的洋流的力即可。运用模型一求解得出黑匣子在下沉1000米，2000米，3000米处的落水点方位分别为：789.62米，1596.79米，2740.79米。并用matlab绘制出洋流作用下黑匣子沉降曲线如图5-11。
经过对三个问题的分析特点可知，三个问题属于同一种运动方式。同一种运动模型，故可等效代替，运用统一模型解答。
关键字：平抛运动、正交分解、变速运动、等效代替
西北工业大学明德学院数学建模竞赛
目 录
一、 问题重述........................................................................................... 1 二、问题分析............................................................................................. 2 三、模型假设............................................................................................. 3 四、符号说明............................................................................................. 4 五、模型的建立与求解 ............................................................................ 5 5.1问题一............................................................................................. 5 5.1.1、建立运动模型 .................................................................... 6 5.1.2模型的求解 ........................................................................... 9 5.1.3结论 ..................................................................................... 10 5.2问题二........................................................................................... 11 5.2.1受力分析 ............................................................................. 12 5.2.2等效问题一模型求解 ......................................................... 13 5.2.3结论 ..................................................................................... 15 5.3问题三........................................................................................... 15 5.3.1模型建立流程图 ................................................................. 16 5.3.2模型求解 ............................................................................. 17 5.3.3结论 ..................................................................................... 17 六、模型的推广与评价 .......................................................................... 19 参考文献 ................................................................................................... 20 附录 ........................................................................................................... 21
西北工业大学明德学院数学建模竞赛
一、 问题重述
飞机是远距离航行的交通方式之一，其主要特点是速度快，安全性高。据统计，飞机是汽车、火车、轮船等几种交通方式中事故率最低的交通方式，但是飞机一旦发生事故，乘客的生还几率非常小。黑匣子是飞机专用的电子记录设备之一，它能记录各种飞行参数，供事故分析使用。作为飞机数据客观、真实、全面的记录，它能把飞机停止工作或失事坠毁前半小时的有关技术参数和驾驶舱内的声音记录下来，它是飞机失事后查明事故原因的最可靠、最科学、最有效的手段。伴随着航空事业的发展，黑匣子在飞机日常安全维护、飞行状态监测、消除事故隐患以及故障定位方面也发挥着越来越重要的作用，甚至可说充当着飞行过程中不可或缺的角色。
请建立模型求解以下问题：
1. 假定飞机在发生事故时突然失去动力，考虑飞机在降落过程中受到空气
气流的影响，建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。 2. 假设黑匣子落水之后，不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，建立
模型描述黑匣子在水中沉降过程轨迹。如图1所示，假设黑匣子落水点所对应的海底位置为1，落水时沿着图1中指定的虚线方向沉海，给出黑匣子沉在海底的位置，并指出在图形中的哪个区域范围。
图1 黑匣子在水下沉降过程中的海底剖面图
3. 考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响，建立模型描述在有洋流流动
的情况下黑匣子沉降轨迹方程，并求解出黑匣子沉入水下1000m，2000m和3000m时离落水点的方位。
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二、问题分析
问题一要求根据题中给出的已知条件，假定飞机在发生事故时突然失去动力，考虑飞机在降落过程中受到空气气流的影响，建立数学模型，描述飞机坠落轨迹并推测黑匣子的落水点。对于问题一，根据牛顿第二定律，我们利用平抛运动的经验，对飞机在发生事故时突然失去动力后的飞行情况进行正交分解，将飞机的水平运动和垂直运动分解开来。在水平方向上，飞机受到变化的阻力则运动为变减速直线运动；在竖直方向上考虑飞机自身的重力、空气阻力对飞机飞行的影响，它是随着速度而不断变化的，因此对飞机飞行的每个阶段进行微分计算，进而得出每个时间点飞机在水平方向和竖直方向上的位置，从而得出飞机坠落轨迹和黑匣子的落水点。
问题二要求根据题中给出的已知条件，假定黑匣子落水之后，不考虑洋流流动对黑匣子沉降过程的影响，建立模型描述黑匣子在水中沉降过程轨迹。在不考虑洋流的影响的情况下，黑匣子落入水中后，受到水的阻力，浮力和重力的作用，浮力的大小可通过
F浮??gV求解出，可得海水对黑匣子的阻力与速度成正比，
根据牛顿第二定律可列出微分方程，然后求解出黑匣子的运动轨迹，进而确定黑匣子的坠落区域。
问题三要求根据题中给出的已知条件，考虑洋流流动对黑匣子在水中沉降的影响，建立模型，描述在有洋流流动的情况下黑匣子沉降轨迹方程，并求解出黑匣子沉入水下1000m，2000m和3000m时离落水点的方位。在问题一中，飞机受到阻力、重力。问题二中，黑匣子受到浮力、阻力、重力，由于运动方式相同，且浮力为恒力，则运动过程与问题一一致，可以用相同模型进行求解。而问题三是在问题二的基础上加入了对洋流因素的考虑，本文可以结合问题一中黑匣子的落水点，再对问题二的模型进行优化，进而得出在考虑洋流流动时，黑匣子的轨迹方程。因此我们参照模型二，在水平方向增加初速度，得到模型三。然后根据得出的优化模型将问题三给出的数据分别代入所建的新模型中，进而求得当黑匣子沉入水中不同的深度时距离落水点的具体方位。
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