PINGDINGSHAN UNIVERSITY 院 系 : 经济与管理学院 题 目 : 定积分在生活中的应用 年级专业 : 11级市场营销班 学生姓名 : 孙 天 鹏
定积分在生活中的应用
定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述
1、定积分的定义：
设函数f?x?在区间?a,b?上有界.
①在?a,b?中任意插入若干个分点a?x0?x1?L?xn?1?xn?b,把区间?a,b?分成
n个小区间?x0,x1?,?x1,x2?,L,?xn?1,xn?,且各个小区间的长度依次为?x1?x1?x0，
?x2?x2?x1，…，?xn?xn?xn?1。
②在每个小区间?xi?1,xi?上任取一点?i，作函数f??i?与小区间长度?xi的乘积
， f??i??xi（i?1,2,L,n）
③作出和 S??f??i??xi。记P?max??x1,?x2,L,?xn?作极限lim?f??i??xi P?0i?1i?1nn如果不论对?a,b?怎样分法，也不论在小区间?xi?1,xi?上点?i怎样取法，只要当
P?0时，和S总趋于确定的极限I，这时我们称这个极限I为函数f?x?在
区间?a,b?上的定积分（简称积分），记作?af?x?dx，即
b?f?x?dx=I=lim?f????x,
abnP?0iii?1其中f?x?叫做被积函数，f?x?dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，??a,b?叫做积分区间。
2．定积分的性质
设函数f?x?和g?x?在?a,b?上都可积，k是常数，则kf?x?和f?x?+g?x?都可积，并且
性质1 ?akf?x?dx=k?af?x?dx;
性质2 ?a??f?x??g?x???dx=?af?x?dx+?ag?x?dx
?f?x??g?x???dx=?af?x?dx-?ag?x?dx. ?a?bbbbbbbb性质3 定积分对于积分区间的可加性
设f?x?在区间上可积，且a，b和c都是区间内的点，则不论a，b和c的相对位置如何，都有?af?x?dx=?af?x?dx+?bf?x?dx。
性质 4 如果在区间?a,b?上f?x??1，则?a1dx=?adx=b?a。 性质 5 如果在区间?a,b?上f?x??0,则?af?x?dx?0?a?b?。
bbbbcbc性质 6 如果在[a,b]上,m?f(x)?M,则m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)
a性质 7（定积分中值定理）如果f(x)在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少
b存一点?使得 ?f(x)dx?f(?)(b?a)
a3．定理
定理1 微积分基本定理
如果函数f?x?在区间?a,b?上连续,则积分上限函数??x?=?af?t?dt在?a,b?上可导,并且它的导数是 ?'?x?=
定理 2 原函数存在定理
如果函数f?x?在区间?a,b?上连续,则函数??x?=?af?t?dt就是f?x?在
xxd?f?t?dtaxdx=f?x??a?x?b?.
?a,b?上的一个原函数.
定理3 如果函数F?x?是连续函数f?x?在区间?a,b?上的一个原函数,