专题限时检测三
时间：60分钟 满分：100分
一、选择题(本大题共8小题，每小题6分，共48分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．(文)(2013·天津十二区县联考)“lgx，lgy，lgz成等差数列”是“y2＝xz”成立的( ) A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] “lgx，lgy，lgz成等差数列”?2lgy＝lgx＋lgz?y2＝xz，但y2＝xz?/ 2lgy＝lgx＋lgz，∴选A.
(理)等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则“d>|a1|”是“Sn的最小值为S1，且Sn无最大值”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[答案] A
[解析] 依题意，当d>|a1|时，数列{an}是递增的数列，无论a1的取值如何，Sn的最小值为S无最大值时，如当a1
1，且Sn无最大值；反过来，当Sn的最小值为S1，且Sn1＝1，d＝3时，
此时Sn的最小值为S1，且Sn无最大值，但不满足d>|a1|.综上所述，“d>|a1|”是“Sn的最小值为S1，且Sn无最大值”的充分不必要条件．
2．(2014·河北衡水中学二调)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1), a1a2a3＝27，则a6＝( )
A．27 B．81 C. 243 D．729
[答案] C [解析]
∵a1a2a3＝a32＝27，∴a2＝3，∵S2n＝4(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)，∴S2＝4a1，∴a1＋a2
＝4a，∴aa212＝3a1＝3，∴a1＝1，∴q＝a1
＝3，∴a6＝a1q5＝35＝243.
3．(文)(2013·绍兴市模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＋S3＝－4，a4＝3，则公差为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
[答案] C
[解析] ∵a2＋S3＝－4，∴4a2＝－4，∴a2＝－1， ∵a4＝3，∴d＝2，故选C.
(理)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝??3(1＋2x)dx，S20＝17，则S30为( )
0
A．15 B．20 C．25 D．30
[答案] A
[解析] S10＝?3(1＋2x)dx＝(x＋x2?)|30＝12.
0
又S10，S20－S10，S30－S20成等差数列． 即2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)，∴S30＝15.
4．(文)(2014·河南六校联盟联考)在等差数列{an}中，a3＋a9＝12，则该数列前11项和S11
＝( )
A．132 B．121 C．66 D．33
[答案] C
[解析] ∵a3＋a9＝a1＋a11＝12， ∴S＝11?a1＋a11?11×12112＝2
＝66.
(理)(2013·唐徕回民中学模拟)已知数列{an}，若点(n，an)(n∈N*)在经过点(5,3)的定直线l上，则数列{an}的前9项和S9＝( )
A．9 B．10 C．18
D．27
- 1 -
[答案] D
[解析] 由条件知a5＝3，∴S9＝9a5＝27.
(文)两个正数a、b的等差中项是52，一个等比中项是6，且a>b，则双曲线x2y2
5．a2－b2＝1
的离心率e等于( )
A.3
152
B.2 C.13 D.
133
[答案] D
[解析] 由已知可得a＋b＝5，ab＝6，
???a＝3，??a＝2，解得?或b＝2 ?＝3
(舍去)．
???b则c＝a2＋b2＝13，故e＝c13
a＝3
. (理)△ABC的三边分别为a、b、c，若b既是a、c的等差中项，又是a、c的等比中项，则△ABC是( )
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．直角三角形
[答案] C
[解析] ∵b是a、c的等差中项，∴b＝a＋ca＋c2.又∵b是a、c的等比中项，∴b＝ac，∴(2)2
＝ac，∴(a－c)2＝0，∴a＝c，∴b＝
a＋c
2
＝a，故△ABC是等边三角形． 6．(2013·北京西城区模拟)设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且a1>0，若S2>2a3，则q的取值范围是( )
A．(－1,0)∪(0，12)
B．(－1
2，0)∪(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1
2
，＋∞)
D．(－∞，－1
2)∪(1，＋∞)
[答案] B
[解析] ∵S2>2a3，∴a1＋a1q>2a1q2， ∵a1>0，∴2q2－q－1<0， ∴－1
2
7．(文)已知正数组成的等差数列{an}，前20项和为100，则a7·a14的最大值是( ) A．25 B．50 C．100 D．不存在 [答案] A [解析] ∵Sa1＋a2020＝2×20＝100，∴a1＋a20＝10. ∵a1＋a20＝a7＋a14，∴a7＋a14＝10. ∵aa7＋a14n>0，∴a7·a14≤(2 )2 ＝25.当且仅当a7＝a14时取等号． (理)(2014·乌鲁木齐市诊断)已知数列{an}的各项均为正数，执行程序框图(如下图)，当k ＝4时，输出S＝1 3 ，则a2014＝( ) A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 [答案] D - 2 - [解析] 由程序框图可知，{an}是公差为1的等差数列， 且111a1a2＋a2a3＋a3a4＋1a4a5＝13 ， ∴1a1－1a2＋1a2－1a3＋1a3－1a4＋1a4－1a5＝1a1－1a5＝13 ， ∴1a1－1a＝1，解得a1＝2，∴a2014＝a1＋2013d＝2＋2013＝2015. 1＋43 8．(文)在直角坐标系中，O是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限内的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] A [解析] 由等差、等比数列的性质，可求得x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4，∴P1(2,2)，P2(3,4)，∴S△OP1P2＝1. (理)(2013·贵阳市检测)已知曲线C：y＝1 x(x>0)上两点A1(x1，y1)和A2(x2，y2)，其中x2>x1. 过A1、A2的直线l与x轴交于点A3(x3,0)，那么( ) A．xx31，2，x2成等差数列 B．xx3 1，2，x2成等比数列 C．x1，x3，x2成等差数列 D．x1，x3，x2成等比数列 [答案] A [解析] 直线Ay11 2－y1x2－x111 1A2的斜率k＝x＝x＝－，所以直线A12－x12－x1 x1x2A2的方程为y－x1 ＝－ 1x1x2(x－x＝0解得x＝xxx31)，令y1＋x2，∴x3＝x1＋2，故x1，2 ，x2成等差数列，故选A. 二、填空题(本大题共2小题，每小题6分，共12分，将答案填写在题中横线上．) 9．(文)(2013·天津六校联考)定义运算?ab???x－1cd?＝ad－bc，函数f(x)＝?2??－xx＋3??图 象的顶点坐标是(m，n)，且k，m，n，r成等差数列，则k＋r的值为________． [答案] －9 [解析] f(x)＝(x－1)(x＋3)＋2x＝x2＋4x－3＝(x＋2)2－7的顶点坐标为(－2，－7)， ∵m＝－2，n＝－7，∴k＋r＝m＋n＝－9. (理)(2014·山西大学附中月考)已知无穷数列{an}具有如下性质：①a1为正整数；②对于任意的正整数n，当aanan＋1n为偶数时，an＋1＝2；当an为奇数时，an＋1＝2.在数列{an}中，若当 n≥k时，an＝1，当1≤n [答案] 2k－ 2 [解析] 当n≥k时，aak－1＋1 n＝1，∴ak＝1，当n 矛盾，∴aak－1 k＝ 2 ，∴ak－1＝2，同理可得ak－2＝3或4，ak－3＝5,6,7或8，…，倒推下去，∵k－(k－2)＝2，∴倒推(k－2)步可求得a1，∴a1有2k－2个可能取值． 10．(文)(2013·南京市二模)已知数列{an}的通项为an＝7n＋2，数列{bn}的通项为bn＝n2.若将数列{an}、{bn}中相同的项按从小到大顺序排列后记作数列{cn}，则c9的值是________． [答案] 961 [解析] 设数列{an}中的第n项是数列{bn}中的第m项，则m2＝7n＋2，m、n∈N*.令m＝7k＋i，i＝0,1,2，…，6，k∈Z，则i2除以7的余数是2，则i＝3或4，所以数列{cn}中的项依次是{bn}中的第3,4,10,11,17,18,24,25,31,32，…，故c9＝b31＝312＝961. (理)已知函数f(x)＝a·bx的图象过点A(2，12)、B(3,1)，若记an＝log2f(n)(n∈N*)，Sn是数列 {an}的前n项和，则Sn的最小值是________． [答案] －3 [解析] 将A、B两点坐标代入f(x)得 ??1? 2＝ab2， ?1解得???a＝8， ?1＝ab3，??b＝2， ∴f(x)＝18·2x.∴f(n)＝18 ·2n ＝2n－3. - 3 -