重庆交通大学2015年第八届数学建模竞赛
参 赛 论 文
论 文 选 题 ：B 题
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DNA 序列的k-mer index问题
摘要
本小组在查阅了相关文献资料后，基于“数据结构”中的“哈希算法[2][6]”、“倒排索引[1][2]”法及“BKDRHash算法[2]”，建立相应的数学模型，给出分析和结果，对DNA 序列的k-mer index 问题给出解决方案。
本模型对不同k值采用不同算法建立索引。当k值较小时，利用基因序列其碱基种类较少（仅A,T,G,C四种）的特点，根据哈希算法进制转换的思想，可将k-mer 看成一个四进制的序列数，将其转化为十进制数作为哈希表的关键字[2]，并采用倒排索引的方法对哈希表关键字分类整理，建立相应的地址存储单元，实现索引；当k值较大时，考虑到内存溢出[6]的问题，采用“BKDRHash算法”对k-mer进行十进制转化，并结合“倒排索引[2]”法建立索引，从而对给定的 k-mer片段进行精确查找，最终输出碱基片段所在位置。
此方案将“哈希(Hash)算法”、“BKDRHash算法”和“倒排索引法”相结合，对哈希算法结构进行优化，提升了运算效率，操作简洁、高效。实现了在基因数据库[3][4]中对给定的碱基片段的位置进行查找的目的。
关键词：倒排索引，哈希(Hash)算法，BKDRHash算法，碱基序列，基因数据库。
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一．问题重述
DNA序列的k-mer index 问题
给定一个DNA序列，这个系列只含有4个字母ATCG，如 S =“CTGTACTGTAT”。给定一个整数值k，从S的第一个位置开始，取一连续k个字母的短串，称之为k-mer（如k= 5，则此短串为CTGTA）， 然后从S的第二个位置， 取另一k-mer（如k= 5，则此短串为TGTAC），这样直至S的末端，就得一个集合，包含全部k-mer 。 如对序列S来说，
所有5-mer为｛CTGTA，TGTAC，GTACT，TACTG，ACTGT，TGTAT｝通常这些k-mer需一种数据索引方法，可被后面的操作快速访问。例如，对5-mer来说，当查询CTGTA，通过这种数据索引方法，可返回其在DNA序列S中的位置为｛1，6｝。 问题
现在以文件形式给定 100万个 DNA序列，序列编号为1-1000000，每个基因序列长度为100 。
（1）要求对给定k， 给出并实现一种数据索引方法，可返回任意一个k-mer所在的DNA序列编号和相应序列中出现的位置。每次建立索引，只需支持一个k值即可，不需要支持全部k值。
（2）要求索引一旦建立，查询速度尽量快，所用内存尽量小。 （3）给出建立索引所用的计算复杂度，和空间复杂度分析。 （4）给出使用索引查询的计算复杂度，和空间复杂度分析。
（5）假设内存限制为8G，分析所设计索引方法所能支持的最大k值和相应数据查询效率。
（6）按重要性由高到低排列，将依据以下几点，来评价索引方法性能 ? 索引查询速度 ? 索引内存使用
? 8G内存下，所能支持的k值范围 ? 建立索引时间
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