【练63】如图,在三棱锥P?1
时,求直线PA与 2平面PBC所成角的大小;(III) 当k取何值时,O在平面PBC内的射影恰好为?PBC的重心?
OP?底面ABC.(I) 求证OD?底面PAB; (II) 当k?
【答案】方法一：
（Ｉ）Ｏ、Ｄ分别为AC、PC的中点.?OD//PA 又PA?平面PAB.?OD//平面PAB.
AB?BC,OA?OC?OA?OB?OC, (II)
又OP?平面ABC?PA?PB?PC. 取BC中点Ｅ，连结PE,则BC?平面POE. 作OF?PE于F,连结DF,则OF?平面PBC, ??ODF是OD与平面PBC所成的角.
又OD//PA,?PA与平面PBC所成角的大小等于?ODF. 在Rt?ODF中，sin?ODF?OF?AoABC中,AB?BC,
AB?BC?kPA, 点O、D分别是AC、PC的中点,
PDCBOD210 30z P?PA与平面PBC所成的角为arcsin21030. （III）由II知，OF?平面PBC，?F是O在平面PBC内的射影. D是PC的中点，若点F是PBC的重心，则B、F、D三点共线， ?直线OB在平面PBC内的射影为直线BD.
OB?PC ?PC?BD ?PB?BC，即K?1. 反之，当K?1时，三棱锥O?PBC为正三棱锥， ?O在平面PBC内的射影为?PBC的重心.
A方法二: x OP?平面ABC,OA?OC,AB?BC, ?OA?OB,OA?OP,OB?OP.
以O为原点，射线OP为非负z轴，建立空间直角坐标系O?xyz(如图)， 设
DoBCy
?2a,0,0).设OP?h, 则P(0,0,h)
2?22?221OD(I) D为PC的中点，＝，又???PA?(a,0?,h,)??(?a,0,h)1242-PA?OD//PA ?OD//平面PAB.
AB?a,则A(2a,0,0),B(0,2a,0),C(?OD＝
2(II)
K?17, 即PA?2?,?h?a,?PA=(2?,0,?7a), 2222?可求得平面PBC的法向量n?(1,?1,?210 1?PAn),cos?PA,n?????.730PA|n|??????设PA与平面PBC所成的角为?,则sin??|cos?PA,n?|?210?PA,与平面PBC所成的角为
30arcsin210 30?221221
a,a,h),?OG?(?a,a,h).663663(III) ??PBC的重心G(?OG?平面
PBC.?OG?P.B又PB?(0,211a,?h),?OGPB?a2?h2?0.
632?h?2a.?PA?OA2?h2?a,即k?1反之，当k?1时，三棱椎O?PBC为正三棱锥，2?O在平面PBC内的射影为?PBC的重心.
【易错点64】常见几何体的体积计算公式，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系数，导致出错。
a3例64、棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）A、
3a34a3 C、
6a3 D、
12
B、
【易错点分析】正确的分析图形，采用割补法。 解析：如图此八面体可以分割为两个正四棱锥，而
2111?a??a?a2AB???????.?V八面体??a2?a?a3，故选C。
3262?2??2?22【知识点归类点拨】计算简单几何体的体积，要选择某个面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易求。
【练64】如图四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为 矩形，AB=8，AD=43，侧面PAD为 等边三角形，并且与底面成二面角为600。求
?AD。作PO?平
四棱锥P—ABCD的体积。
解析：如图，去AD的中点E，连结PE，则PE面ABCD，垂足为O，连结OE。 根据三垂线定理的逆定理得OE条件可?PEO?600?AD，所以?PEO为侧面PAD与底面所成二面角的平面角。由已知
,PE?6，所以PO?33，四棱锥P—ABCD的体积
1VP?ABCD??8?43?33?96。
3【易错点65】求点到平面的距离的方法有直接法、等体积法、换点法。 例65、如图，已知正三棱锥 P—ABC的体积为72 3，侧面与底面所成的二面角的大小为600。
（1） 证明PA?BC；
（2） 求底面中心O到侧面的距离。
解析：（1）证明：取BC边的中点D，连结AD、PD，则
AD?BC,PD?BC，故BC?平面APD?PA?BC。
（2）解：如图，由（1）可知平面PBC?平面APD，则?PDA是侧面与底面所成二面角的平面角。 过点O做OE?PD，E为垂足，则OE就是点O到侧面的距离，设OE为h，由题意可知点O在AD上，
??PDO?600,OP?2h.OD?2h32,?BC?4h,?S?ABC??4h??43h2431832723??43h2?2h?h,?h?3即底面中心O到侧面的距离为3。
33【知识点归类点拨】求点到平面的距离一般由该点向平面引垂线，确定垂足，转化为解三角形求边长，或者利用空间向量表示点到平面的垂线段，设法求出该向量，转化为计算向量的模，也可借助体积公式利用等积求高。
【练65】 如图，直三棱柱ABC—A1B1C1中， 底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°， 侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点， 点E在平面ABD上的射影是△ABD的垂心G. （Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小 （结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.
解析：连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角. 设F为AB中点，连结EF、FC，
D,E分别是CC1,A1B的中点,又DC?平面ABC,?CDEF为矩形连结DE,G是?ADB的重心,?G?DF.在直角三角形EFD中1EF2?FG?FD?FD2,EF?1,?FD?3.31?26于是ED?2,EG??.33FC?CD?2,?AB?22,A1B?23,EB?3.?sin?EBG?EG612???.EB3332.3
?A1B与平面ABD所成的角是arcsin（Ⅱ）连结A1D，有VA?AED1?VD?AA1E
?ED?AB,ED?EF,又EF?AB?F,
?ED?平面A1AB, 设A1到平面AED的距离为h，
则S?AED?h?S?A1AB?ED ?A1K?263. 故A1到平面AED的距离为
263.
【易错点62】二面角平面角的求法，主要有定义法、三垂线法、垂面法等。
例62、 如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AA1＝A1C1＝a，E为BB1的中点，若截面A1EC⊥侧面AC1．求截面A1EC与底面A1B1C1所成锐二面角度数． 解法1 ∵截面A1EC∩侧面AC1＝A1C．连结AC1，在正三棱ABC－A1B1C1中，