第4章 圆与方程 习题课
【课时目标】 1．巩固圆的方程的两种形式，并熟练应用圆的方程解决有关问题．2．熟练掌握直线与圆、圆与圆的位置关系的判定及应用．
?①圆的标准方程： ，
1．圆的方程?? 其中 为圆心，r为半径.
②圆的一般方程：
?
? 其中? >0?.
?2．直线与圆的位置关系的判定(d表示圆心到直线的距离，r表示圆半径)?
相交?d ?相切? .3．圆与圆的位置关系(d表示两圆圆心距，R、r表示两圆半径且 ?外离?d>R＋r； )?外切?d＝R＋r； R≥r?相交?R－r ??内切?d＝R－r；内含?d 一、选择题 1．圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是( ) A．(1，－2)，5 B．(1，－2)，5 C．(－1,2)，5 D．(－1,2)，5 2．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( ) A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B．(x－1)2＋(y－1)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8 D．(x－1)2＋(y－1)2＝8 3．直线x－3y＝0绕原点按逆时针方向旋转30°所得直线与圆x2＋y2－4x＋1＝0的位置关系是( A．相交且过圆心 B．相交但不过圆心 C．相切 D．相离 4．若圆x2＋y2－2ax＋3by＝0的圆心位于第三象限，则直线x＋ay＋b＝0一定不经过( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．直线l与直线3x＋4y－15＝0垂直，与圆x2＋y2－18x＋45＝0相切，则直线l的方程是( ) A．4x－3y－6＝0 B．4x－3y－66＝0 C．4x－3y－6＝0或4x－3y－66＝0 D．4x－3y－15＝0 6．方程4－x2＝k(x－2)＋3有两个不等实根，则k的取值范围为( ) A．?5?12，34??B．?3 ?4，＋∞?? C．??－∞，512??D．?5?12，3 4?? 第1页 共4页 ) 二、填空题 7．过点M(0,4)，且被圆(x－1)2＋y2＝4截得的线段长为23的直线方程为____________． 8．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程为________． 9．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________． 三、解答题 10．有一圆C与直线l：4x－3y＋6＝0相切于点A(3,6)，且经过点B(5,2)，求此圆的标准方程． 11．已知圆C：x2＋y2－2x－4y－20＝0及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)． (1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆C总相交； (2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时的直线方程． 能力提升 12．已知曲线C：(x－1)2＋y2＝1，点A(－1,0)及点B(2，a)，从点A观察点B，要使视线不被曲线C拦住，则a的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C．(3，＋∞) D．(－∞，－33)∪(33，＋∞) 13．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA、PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，求四边形PACB面积的最小值． 第2页 共4页 初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题，本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质，如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题，将在处理圆有关问题时收到意想不到的效果． 圆是非常特殊的几何图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用，所以在实际解题中常用几何法，充分结合圆的平面几何性质．那么，我们来看经常使用圆的哪些几何性质： (1)圆的切线的性质：圆心到切线的距离等于半径；切点与圆心的连线垂直于切线；切线在切点处的垂线一定经过圆心；圆心、圆外一点及该点所引切线的切点构成直角三角形的三个顶点等等． (2)直线与圆相交的弦的有关性质：相交弦的中点与圆心的连线垂直于弦所在直线；弦的垂直平分线(中垂线)一定经过圆心；弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的三边，满足勾股定理． (3)与直径有关的几何性质：直径是圆的最长的弦；圆的对称轴一定经过圆心；直径所对的圆周角是直角． 习题课 圆与方程 答案 知识梳理 1．(1)(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (a，b) (2)x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 D2＋E2－4F 2．d>r d＝r 作业设计 1．D 2．B [线段AB两端点为(0,2)、(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径r＝2，∴选B．] 3．C [直线旋转后为y＝3x，圆心(2,0)到该直线距离d＝r．∴选C．] 39 y＋b?2＝a2＋b2． 4．D [圆的标准方程为(x－a)2＋??2?4 31b a，－b?．∴a<0，b>0．∴y＝－x－不过第四象限．] 圆心为?2??aa 5．C [设直线方程为4x－3y＋m＝0，由直线与圆相切得m＝－6或－66．] 6．A [ 在同一平面直角坐标系中分别画出y＝4－x(就是x＋y＝4，y≥0)和y＝k(x－2)＋3的图象．如图所示，问题就转化为两条曲线有两个交点的问题，需kPA 3－0|－2k＋3|3 kPB＝＝，对于k(x－2)－y＋3＝0，因为直线与圆相切，所以d＝r，即＝2，解得kPA22－?－2?4k＋15＝． 12 53?所以k的取值范围为??12，4?．] 7．x＝0或15x＋8y－32＝0 解析 设直线方程为x＝0或kx－y＋4＝0．当直线方程为x＝0时，弦长为23符合题意；当直线方程 |k－0＋4|15 为kx－y＋4＝0时，d＝＝22－?3?2＝1，解得k＝－，因此直线方程为15x＋8y－32＝0． 28k＋1 8．4 解析 点A关于x轴的对称点A′(－1，－1)，转化为求A′(－1，－1)到圆上的点的距离的最小值问题，其最小值为?2＋1?2＋?3＋1?2－1＝4． 9．3或7 解析 这是以集合为载体考查两圆位置关系． ∵A∩B中有且仅有一个元素， ∴两圆x2＋y2＝4与(x－3)2＋(y－4)2＝r2相切， O(0,0)，C(3,4)，|OC|＝5，r1＝2，r2＝r， 22 2 第3页 共4页