小初高试卷教案类
第15讲 等腰三角形
命题点1 等腰三角形的性质与判定
1．(2018·河北T8·3分)已知，如图，点P在线段AB外，且PA＝PB，求证：点P在线段AB的垂直平分线上．在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是(B)
A．作∠APB的平分线PC交AB于点C B．过点P作PC⊥AB于点C且AC＝BC C．取AB中点C，连接PC
D．过点P作PC⊥AB，垂足为C
2．(2017·河北T10·3分)如图，码头A在码头B的正西方向，甲、乙两船分别从A，B同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东35°，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向不能是(D)
A．北偏东55° B．北偏西55° C．北偏东35° D．北偏西35°
3．(2013·河北T8·3分)如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处， 它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为(D)
A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里
命题点2 等边三角形的性质与判定
4．(2016·河北T16·2分)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝2.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．3个以上
5．(2011·河北T17·3分)如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为2.
图1 图2
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重难点1 等腰三角形的性质与判定
在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝120°，点D是线段AB上一动点(D不与A，B重合)．
(1)如图1，当点D为AB的中点，过点B作BF∥AC交CD的延长线于点F，求证：AC＝BF； (2)连接CD.作∠CDE＝30°，DE交AC于点E.若DE∥BC时，如图2. ①∠CDB＝120°；
②求证：△ADE为等腰三角形；
③在点D的运动过程中，△ECD的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠AED的度数；若不可以，请说明理由．
【自主解答】 解：(1)证明：∵CA＝CB，CD是△ABC的中线，∴AD＝BD. ∵BF∥AC，∴∠A＝∠FBD.
∵∠ADC＝∠BDF，∴△ACD≌△BFD.∴AC＝BF. (2)②证明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠B. ∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B.
∴∠A＝∠EDA，∴△ADE为等腰三角形． ③△ECD可以是等腰三角形．理由如下：
Ⅰ.当∠CDE＝∠ECD时，EC＝DE，∴∠ECD＝∠CDE＝30°. ∵∠AED＝∠ECD＋∠CDE， ∴∠AED＝60°.
Ⅱ.当∠ECD＝∠CED时，CD＝DE，∵∠ECD＋∠CED＋∠CDE＝180°， 180°－∠CDE
∴∠CED＝＝75°.∴∠AED＝180°－∠CED＝105°.
2
Ⅲ.当∠CED＝∠CDE时，EC＝CD，∠ACD＝180°－∠CED－∠CDE＝180°－30°－30°＝120°， ∵∠ACB＝120°，
∴此时，点D与点B重合，不合题意．
综上，△ECD可以是等腰三角形，此时∠AED的度数为60°或105°.
【变式训练1】(2018·湖州)如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是(B)
A．20° B．35° C．40° D．70°
【变式训练2】 (2018·河北大联考)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上的一点，且BA＝BD，DA＝DC，则∠C的度数为(B)
A．30° B．36° C．40° D．45°
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小初高试卷教案类 方法指导
1．在同一个三角形中证明边相等或角相等的方法主要是等边对等角或等角对等边，在两个不同三角形中，证明两条边相等或角相等的方法是利用全等三角形． 2．几何常见图形“8”字图，其基本构成过程是：
(1)把三角形的中线加倍，即CD是△ABC的中线，延长CD至F，使DF＝CD； (2)D是AB的中点，BF∥AC；
(3)没有明确腰或底边的等腰三角形或没有明确顶角或底角的等腰三角形问题，解决时常常需要分类讨论．Ｋ,
在△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝8，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB.
(1)如图1，过点P作BC的平行线交AB于点E，交AC于点F，则△AEF的周长为10；
(2)如图2，过点P作PM∥AB交BC于点M，PN∥AC交BC于点N，则△PMN的周长为8；
【变式1】如图3，若点P为△ABC的内心，将∠BAC平移使其顶点与P重合，则图中阴影部分的周长为8．
【变式2】如图4，若△ABC的内角平分线BQ与外角平分线CQ相交于点Q，过点Q作QH∥BC交AB于点H，交AC于点R.若BH＝5，HR＝2，求CR的长．
【思路点拨】 (1)由角平分线及两直线平行，内错角相等，可得到△BEP，△CFP均是等腰三角形，从而有EF＝EB＋FC，所以△AEF的周长为AB＋AC；对于(2)同理可得，PM＝BM，PN＝CN，所以△PMN的周长BM＋MN＋CN＝BC＝8，对于变式2连接PB，PC，根据(2)中结论可得阴影部分的周长；对于变式2可证得△BHQ，△CRQ是等腰三角形． 【自主解答】 解：∵HQ∥BC，∴∠HQB＝∠QBC.
又∵BQ平分∠ABC，∴∠HBQ＝∠CBQ.
∴∠HQB＝∠HBQ.∴HB＝HQ.同理可得CR＝RQ. ∴CR＝RQ＝HQ－HR＝BH－HR＝5－2＝3.
【变式训练3】 已知：如图，点D在△ABC外，BD，CD分别平分△ABC的外角∠GBC和∠HCB，过点D作DE∥BC，分别交BG，CH于E，F两点，则EF与BE，CF之间存在怎样的关系？写出你的结论，并加以证明．
解：结论：BE＋CF＝EF.
证明：∵BD平分∠EBC，CD平分∠FCB， ∴∠EBD＝∠CBD，∠FCD＝∠BCD.
∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠CBD，∠FDC＝∠BCD. ∴∠EBD＝∠EDB，∠FDC＝∠FCD. ∴BE＝DE，CF＝DF.
∴BE＋CF＝DE＋DF＝EF.∴BE＋CF＝EF. 方法指导
1．角平分线＋平行线可以得出等腰三角形．
模型如下：
如图，OA∥BC，OC平分∠AOB，则△BOC为等腰三角形．
2．利用等腰三角形的腰相等，可以实现化曲为直，实现线段求解或周长求解． K12小学初中高中