数值分析试题
一、 填空题（2 0×2′）
1.
?32??2?设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有 2
A??,X??????21???3?位有效数字。
2. 若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ，
f[20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A‖∞＝___5 ____，‖X‖∞＝__ 3_____，
‖AX‖∞≤_15_ __。
4. 非线性方程f(x)=0的迭代函数x=?(x)在有解区间满足 |?’(x)| <1 ，则使用该迭代
函数的迭代解法一定是局部收敛的。
5. 区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商
公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。
7. 拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：?ai(x)? 1 ；所以当
i?0n系数ai(x)满足 ai(x)>1 ，计算时不会放大f(xi)的误差。 8. 要使
20的近似值的相对误差小于0.1%，至少要取 4 位有效数字。
9. 对任意初始向量X(0)及任意向量g，线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,…)收
敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。
x y=f(x) 0 -2 0.5 -1.75 1 -1 1.5 0.25 2 2 2.5 4.25 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。
12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri (i=0,1,…,n)来实现的，其中的残差
ri＝ (bi-ai1x1-ai2x2-…-ainxn)/aii ，(i=0,1,…,n)。
13. 在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)
1
的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为 f(x0)f”(x0)>0 。 14. 使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算。 二、判断题（10×1′）
1、 若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。( × ) 2、 解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。 ( ? ) 3、 若A为n阶方阵，且其元素满足不等式
aii??aij (i?1,2,...,n)j?1j?in则解线性方程组AX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。 ( × ) 4、 样条插值一种分段插值。 ( ? ) 5、 如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( ? ) 6、 从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。 ( ? ) 7、 解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX＝b。 ( × ) 8、 迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计,直到最后一步迭代计算的舍入误差。 ( × ) 9、 数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差＝舍入误差。 ( ? ) 10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( × ) 三、计算题（5×10′）
1、用列主元高斯消元法解线性方程组。
?x1?x2? x3??4 ??5x1?4x2?3x3??12?2x?x?x?11?123解答：
（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：
2
?5x1?4x2?3x3??12 ??x1?x2? x3??4?2x?x?x?11?123L21=1/5=0.2,l31=2/5=0.4 方程化为：
?5x1?4x2?3x3??12 ???0.2x2? 0.4 x3??1.6?2.6x?0.2x?15.8?23（-0.2,2.6）最大元在第三行，交换第二与第三行：
?5x1?4x2?3x3??12 ??2.6x2?0.2x3?15.8??0.2x? 0.4 x??1.6?23L32=-0.2/2.6=-0.076923,方程化为：
?5x1?4x2?3x3??12 ??2.6x2?0.2x3?15.8? 0.38462x??0.38466?3回代得：
?x1?3.00005
??x2?5.99999? x??1.00010?32、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4(x)，并写出其截断误差的表达式(设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数)。 xi f(xi) f ’(xi) 解答： 做差商表 xi F(xi) F[xi,xi+1] F[xi.xi+1.xi+2] F[xi,xi+1,xi+2,xi+3] F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4] 0 1 1 -1 1 2 3 5 3