第12章 波动学基础
振动的传播就是波.机械振动在弹性介质中的传播形成机械波,水波和声波都属于机械波.但是,并不是所有的波都依靠介质传播,光波、无线电波可以在真空中传播,它们属于另一类波,称为电磁波.微观粒子也具有波动性,这种波称为物质波或德布罗意波.各类波虽然其本源不同,但都具有波动的共同特性,并遵从相似的规律.我们就从机械波开始讨论.
§12.1 机械波的产生和传播
一、 机械波产生的条件
当用手拿着绳子的一端并作上下振动时,绳子将形成一个接着一个的凸起和凹陷,并由近及远地沿着绳子传播开去,这一个接着一个的凸起和凹陷沿绳子的传播,就是一种波动.显然,绳子上的这种波动,是由于绳子上手拿着的那一点上下振动所引起的,对于波动而言,这一点就称为波源.绳子就是传播这种振动的弹性介质.
我们可以把绳子看作一维的弹性介质,组成这种介质的各质点之间都以弹性力相联系,一旦某质点离开其平衡位置,则这个质点与邻近质点之间必然产生弹性力的作用,此弹性力既迫使这个质点返回平衡位置,同时也迫使邻近质点偏离其平衡位置而参与振动.另外,组成弹性介质的质点都具有一定的惯性,当质点在弹性力的作用下返回平衡位置时,质点不可能突然停止在平衡位置上,而要越过平衡位置继续运动.所以说,弹性介质的弹性和惯性决定了机械波的产生和传播过程.
在波的传播过程中,虽然波形沿介质由近及远地传播着,而参与波动的质点并没有随之远离,只是在自己的平衡位置附近振动.所以,波动是介质整体所表现的运动状态,对于介质的任何单个质点,只有振动可言.
应该特别指出的是,弹性介质是产生和传播机械波的必要条件,而对于其他类型的波并不一定需要这个条件.光波和无线电波都属于电磁波,是变化的电场和变化的磁场互相激发而产生的波,可以在真空中产生和传播.实物波或德布罗意波反映了微观粒子的一种属性,即波动性,代表了粒子在空间存在的概率分布,并非某种振动的传播,更无需弹性介质的存在.
二、横波和纵波
在波动中,如果参与波动的质点的振动方向与波的传播方向相垂直,这种波称为横波；如果参与波动的质点的振动方向与波的传播方向相平行,这种波称为纵波.
上面所说的凸起（称为波峰）和凹陷（称为波谷）沿绳子的传播,就是横波.纵波的产生和传播可以通过下面的实验来观察.将一根长弹簧水平悬挂起来,在其
一端用手压缩或拉伸一下,使其端部沿弹簧的长度方向振动.由于弹簧各部分之间弹性力的作用,端部的振动带动了其相邻部分的振动,而相邻部分又带动它附近部分的振动,因而弹簧各部分将相继振动起来.弹簧上的纵波波形不再像绳子上的横波波形那样表现为绳子的凸起和凹陷,而表现为弹簧圈的稠密和稀疏,如图12.1所示.图中弹簧圈的振动方向与波的传播方向相平行.对于纵波,除了质点的振动方向平行于波的传播方向这一点与横波不同外,其他性质与横波无根本性的差异,所以对横波的讨论也适用于纵波,对纵波的讨论也适用于横波.
说明：1）有的波既不是纯粹的纵波,也不是纯粹的横波,如液体的表面波.当波通过液体表面时,该处液体质点的运动是相当复杂的,既有与波的传播方向相垂直的方向上的运动,也有与波的传播方向相平行的方向上的运动.这种运动的复杂性,是由于液面上液体质点受到重力和表面张力共同作用的结果.
2）介质的弹性和惯性决定了机械波的产生和传播过程.弹性介质,无论是气体、液体还是固体,其质点都具有惯性.至于弹性,对于流体和固体却有不同的情形.固体的弹性,既表现在当固体发生长变（或体变）时能够产生相应的压应力和张应力,也表现在当固体发生剪切时能够产生相应的剪应力.所以,在固体中,无论质点之间相对疏远或靠近,还是相邻两层介质之间发生相对错动,都能产生相应的弹性力使质点返回其平衡位置.这样,固体既能够形成和传播纵波,也能够形成和传播横波.流体的弹性只表现在当流体发生体变时能够产生相应的压应力和张应力,而当流体发生剪切时却不能产生相应的剪应力.这样,流体只能形成和传播纵波,而不能形成和传播横波.
三、波射线和波振面
波射线和波振面都是为了形象地描述波在空间的传播而引入的概念.从波源沿各传播方向所画的带箭头的线,称为波射线,用以表示波的传播路径和传播方向.波在传播过程中,所有振动相位相同的点连成的面,称为波振面.显然,波在传播过程中波振面有无穷多个.在各向同性的均匀介质中,波射线与波振面相垂直.
波振面有不同的形状.一个点波源在各向同性的均匀介质中激发的波,其波振面是一系列同心球面.波振面为球面的波,称为球面波；波振面为平面的波,称为平面波.当球面波传播到足够远处,若观察的范围不大,波振面近似为平面,可以认为是平面波.图12.2(a)和(b)分别表示了球面波的波振面和平面波的波振面,图中带箭头的直线表示波射线.在二维空间,波振面退化为线：球面波的波振面退化为一系列同心圆,平面波的波振面退化为一系列直线.
四、描述波动的几个物理量
波速 u、波长λ、波的周期T和频率 v 是描述波的四个重要物理量.这四个物理量之间存在一定的联系.
波速u是单位时间内振动传播的距离.波速也就是波面向前推进的速率. 波长λ：波在传播过程中,沿同一波射线上相位差为2π的两个相邻质点的运动状态必定相同,它们之间的距离为一个波长.（横波、纵波的情况下）
周期T：一个完整的波（即一个波长的波）通过波射线上某点所需要的时间 频率 v：频率表示在单位时间内通过波线上某点的完整波的数目.
根据波速、波长、波的周期和频率的上述定义,我们不难想象,每经过一个周期,介质质点完成一次全振动,同时振动状态沿波射线向前传播了一个波长的距离；在1s 内,质点振动了v 次,振动状态沿波射线向前传播了v 个波长的距离,即波速,所以
u????? （12.1） T在固体中横波的波速为 u?G (12.2) ?式中G是固体材料的剪切模量,ρ是固体材料的密度.纵波在固体中的传播速率为 u?Y (12.3) ?式中Y是固体材料的杨氏模量.在流体中只能形成和传播纵波,其传播速率可以表示为