用理想气体的物态方程pV?vRT除上式，并注意Cp?CV?vR,可得
(Cn?CV)dTdV?(Cp?CV). （3） TV将理想气体的物态方程全式求微分，有
dpdVdT??. （4） pVT式（3）与式（4）联立，消去
(Cn?CV)dT，有 TdpdV?(Cn?Cp)?0. （5） pV令n?Cn?CpCn?CV，可将式（5）表为
dpdV?n?0. （6） pV如果Cp,CV和Cn都是常量，将上式积分即得
。 （7） pVn?C（常量）
式（7）表明，过程是多方过程。
1.10 声波在气体中的传播速度为
????
????s??p?假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能u和焓h可由声速及?给出：
a2u??u,????1?0a2h ??h ?-10其中u0,h0为常量。
解：根据式（1.8.9），声速a的平方为
a2??pv, （1）
其中v是单位质量的气体体积。理想气体的物态方程可表为
pV?mRT, m?式中m是气体的质量，m?是气体的摩尔质量。 对于单位质量的气体，
有
pv?1RT, （2） m?代入式（1）得
a2??m?RT. （3）
以u,h表示理想气体的比内能和比焓（单位质量的内能和焓）。 由式（1.7.10）—（1.7.12）知
m?u?RT?m?u0, ??1m?h??RT?m?h0. （4） ??1将式（3）代入，即有
a2u??u0, ?(??1)a2h??h. （5） ??10式（5）表明，如果气体可以看作理想气体，测定气体中的声速和?即可确定气体的比内能和比焓。
1.11大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间空气不断发生对流，由于气压随高度而降低，空气上升时膨胀，下降时收缩，空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程，试计算大气温 度随高度的变化率
dT，并给出数值结果。 dz解：取z轴沿竖直方向（向上）。以p(z)和p(z?dz)分别表示在竖直高度为z和z?dz处的大气压强。 二者之关等于两个高度之间由大气重量产生的压强，即
p(z)?p(z?dz)??(z)gdz, （1）
式中?(z)是高度为z处的大气密度，g是重力加速度。 将p(z?dz)展
开，有
p(z?dz)?p(z)?dp(z)dz, dz代入式（1），得
dp(z)???(z)g. （2） dz式（2）给出由于重力的存在导致的大气压强随高度的变化率。
以m?表大气的平均摩尔质量。 在高度为z处，大气的摩尔体积为
m?，则物态方程为 ?(z)m?p(z)?RT(z), （3）
?(z)，消去?(z)得 T(z)是竖直高度为z处的温度。 代入式（2）
dm?gp(z)??p(z). （4） dzRT(z)由式（1.8.6）易得气体在绝热过程中温度随压强的变化率为
??T???1T?. （5） ???p??p?S综合式（4）和式（5），有
??T?dd??1m?gT(z)??p?z???. （6） ?dz?R??p?Sdz大气的??1.41（大气的主要成分是氮和氧，都是双原子分子），平均摩尔质量为m??29?10?3kg?mol?1,g?9.8m?s?2，代入式（6）得
dT?z???10K?km?1. （7） dz式（7）表明，每升高1km，温度降低10K。 这结果是粗略的。由于各种没有考虑的因素，实际每升高1km，大气温度降低6K左右。
1.12 假设理想气体的Cp和CV之比?是温度的函数，试求在准静态绝热过程中T和V的关系，该关系式中要用到一个函数F?T?，其表达式为
lnF(T)??dT
???1?T解：根据式（1.8.1），理想气体在准静态绝热过程中满足
CVdT?pdV?0. （1）
用物态方程pV?nRT除上式，第一项用nRT除，第二项用pV除，可得
CVdTdV??0. （2） nRTV利用式（1.7.8）和（1.7.9），
Cp?CV?nR,CpCV??,
可将式（2）改定为
1dTdV??0. （3） ??1TV将上式积分，如果?是温度的函数，定义
lnF(T)??1dT, （4） ??1T可得
lnF(T)?lnV?C1（常量）， （5）
或
。 （6） F(T)V?C（常量）
式（6）给出当?是温度的函数时，理想气体在准静态绝热过程中T和V的关系。
1.13 利用上题的结果证明：当?为温度的函数时，理想气体卡诺循环的效率仍为??1?T2. T1解：在?是温度的函数的情形下，§1.9就理想气体卡诺循环得到的式（1.9.4）—（1.9.6）仍然成立，即仍有
Q1?RT1lnV2, （1） V1Q2?RT2lnV3, （2） V4VV2?RT2ln3. （3） V1V4W?Q1?Q2?RT1ln根据1.13题式（6），对于§1.9中的准静态绝热过程（二）和（四），有
F(T1)V2?F(T2)V3, （4） F(T2)V4?F(T1)V1, （5）
从这两个方程消去F(T1)和F(T2)，得
V2V3?, （6） V1V4故
W?R(T1?T2)lnV2, （7） V1所以在?是温度的函数的情形下，理想气体卡诺循环的效率仍为
??TW?1?2. （8） Q1T1
1.14试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。 解：假设在p?V图中两条绝热线交于C点，如图所示。设想一等温线与
两条绝热线分别交于A点和B点（因为等温线的斜率小于绝热线的斜率，这样的等温线总是存在的），则在循环过程ABCA中，系统在等温