微分几何试题库 填空题
一．填空题
1．向量函数r?r(t)对任意t有r'(t)? r(t)的充要条件是 。 2．向量函数
r?r(t)具有固定长，则r'(t)?r(t)= 。
3．向量r?{cost,sint,?et}具有固定长，则?= 。 4． 函数r(t)关于t的旋转速度等于其微商的模|r'(t)|。 5．非零向量r(t)对任意是 。
6．向量r?{t,3t,a}具有固定方向，则a = 。
7．非零向量r(t)平行于固定平面的充要条件是 。 8．非零向量
t
有则r't()?r(t)=0的充要条件
r(t)满足(r,r'?r,'其充要条件是，
r(t) 。
9．非零向量函数
r?r(t)具有固定方向，则r'(t)?r(t)= 。
10．对光滑曲线r?r(t)，它上面使 的点叫做它的正常点。 11．曲线r?r(t)的点都是 时，称该曲线为正则曲线。
12．曲线r?r(t)的切向量r'(t)的正向与曲线的 方向是一致的。
13．向量函数r?a?tb（其中a,b为常矢，b?0）表示的曲线是 。 14．圆柱螺线
r(t)?{acost,asint,bt}在
t =
?处的切向量3是 。
15．圆柱螺线 r(t)?{acost,asint,bt}在是 。
16．光滑曲线r?r(t)上从点r(a)到r?t?(t 0)的弧长?(t)= 。t =
?处的法面方程617．设曲线r?r(s)，s是曲线的自然参数，则|r'(s)|= 。 18．过空间曲线上一点P的切线和P的邻近一点Q作一平面? ，当点Q沿曲线趋于P时，平面?的极限位置平面?称为曲线在P点的 。
19．设曲线在P点的切向量为?，主法向量?，则过P由?，?确定的平面是曲线在
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P点的 平面。
20．设曲线r?r(t)上t?t0对应的是非逗留点，曲线在r(t0)点的密切平面的法向量可以取为 。
21．若r(t0)是曲线r?r(t)的非逗留点，则曲线r?r(t)在r(t0)点的密切平面方程是 。
22．螺旋线x=cost,y=cost,z=t上点（1，0，0）的密切平面方程是 。
23．P(s)是C类曲线(C)：r?r(s)上一点，（S为其自然参数），则的 向量。
24．已知曲线r?r(t)在P点的单位切向量为?，主法向量?，则曲线在P点的副法向量?= 。
25．过曲线r?r(t)上一点P，且与曲线在P点的切线垂直的平面叫曲线在P点的 面。
26．曲线(C) 在 P(s)的三个基本向量为?，?，?。则过P点由?和?确定的平面叫曲线在P点的 平面。
27．过空间曲线上一点P的切线且与曲线在P点的主法向量垂直的平面是曲线在P点的 面。
28．曲线r?r(t)在r(t0)点的单位切向量为?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是 。
29．曲线r?r(t)在r(t0)点的主法向量?，则曲线在r(t0)点的从切面方程是 。
30．由曲线的三个基本向量和密切平面、法平面、从切面所构成的图形称为曲线的 。
31．曲线是直线的充要条件是曲线的曲率K= 。
32．曲线r?r(t)的导矢r'(t) ，则该曲线是直线。 33．挠率是零的曲线一定是 曲线。
34．已知a,b是非零常向量，则曲线r?a?tb的曲率k= 。 35．在空间，平面曲线的基本三棱形中 平面是固定的。 36．一曲线的挠率 ，则该曲线的密切平面固定。
37．一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率?= 。 38．一曲线的挠率?=0，则该曲线的基本向量中 是常向量。 39．半径为R的圆的曲率K= 。 40．半径为R的圆的挠率?= 。
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2r是曲线(C)在 P(s)|r|微分几何试题库 填空题
41．在曲线上一点附近，曲线穿过在该点的法平面和 平面，但从不穿过该点的 平面。
42．曲线的的主法向量?总是指向曲线 方向。 43．当曲线在一点的挠率? 时，曲线在该点附近是右旋曲线。 44．当曲线在一点的挠率? 时，曲线在该点附近是左旋曲线。
45．曲线r?r(t)在点r(t0)处挠率?(t0)=3，则r?r(t)在点r(t0)附近的形状是 的。
46．曲线r?r(t)在点r(t0)处挠率?(t0)=－2，则r?r(t)在点r(t0)附近的形状是 的。
47．曲线r?r(t)在点t=2处有?=3?，则曲线在t=2对应的点处曲率K= 。
48．曲线r?r(t)在点t=1处有?=2?，则曲线在t=1对应的点处其挠率?= 。 49．设kr是平面曲线的相对曲率，则在曲线向右转的地方kr 。 50．设kr是平面曲线的相对曲率，则在曲线向左转的地方kr 。 51．曲线y=f(x)的相对曲率的计算公式是kr= 。 52．抛物线y=x在任一点(x,y)处的相对曲率kr= 。 53．抛物线y=x在原点(0，0)处的相对曲率kr= 。 54．平面曲线在K?0的点处，其形状近似于 。
55．平面曲线在曲率K=0，K?0的点处，其形状近似于 。 56．平面曲线(C)的 称为平面曲线(C)的渐缩线。
57．若曲线(C) 是曲线（C）的渐缩线，则称（C）是曲线(C)的 。 58．平面曲线(C)的法线和它的渐缩线（C）在对应点 。 59．设曲线(C)的方程是r?r(s)，S为其弧长。?(s)为(C)的单位切向量。则
?
?
?
22r??r(s)?(c?s)? ，(s＜c＝ 表示的曲线是(C)的 。
60．曲线的切线与一固定方向成固定角的曲线称为 。 61．曲线的 与一固定方向作固定角，则该曲线是一般螺线。 62．一般螺线的主法线与一固定方向 。 63．主法线与一固定方向垂直的曲线是 。
64．曲线的副法线与一固定方向作成固定角，这样的曲线称为 。 65．如果一曲线是一般螺线，则它的副法线与一固定方向 。 66．如果一曲线的切向与一固定方向成固定角，则曲线的主法线与这一固定方向
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。
67．如果一曲线的切向与一固定方向成固定角，则曲线的副法线与这一固定方向 。
68．如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的切向与这固定方向 。 69．如果一曲线的主法线与一固定方向垂直，则这曲线的副法线与这固定方向 。
70．如果一曲线的副法线与一固定方向成固定角，则这曲线的切向与 成固定角。
71．曲线?的副法向量??1{sint,cost,1}，则曲线?一定是 线。 272．如果一曲线的副法线与一固定方向成固定角，则这曲线的主法线与这固定方向 。
? 。 ?? 74．如果一曲线的切向与一固定方向成固定角，则这曲线的曲率与挠率之比
?73．如果曲线是一般螺线，则这曲线的曲率与挠率之比 。
75． 如果曲线的曲率与挠率之比
?是一常数，则这曲线是 。 ? 76．在曲面r?r(u,v)上，由 确定的曲线是曲面的v-曲线。 77．在曲面r?r(u,v)上，由v=常数确定的曲线是曲面的 。 78．圆柱面
r?{Rcos?,Rsin?,z}上?=常数确定的曲线是圆柱面上的 。
79．对于球面r?{Rcos?cos?,Rcos?sin?,Rsin?}， 曲线是球面上的等纬度的圆----纬圆。
80．球面r?{Rcos?cos?,Rcos?sin?,Rsin?}上， 曲线是球面上的过两极的半圆-----子午线。
81．在旋转曲面r?{?(t)cos?,?(t)sin?,?(t)}上， 线是旋转曲面的经线。
82．如果曲面方程r?r(u,v)中函数有 ，则称为K阶正则曲面或称为C类曲面。
83．如果经过曲面上每一点有唯一的一条u—曲线和唯一的一条v—曲线，而且这两族曲线彼此不相切，这样的两族曲线称为曲面上的 。 84．曲面r?r(u,v)上使 的点叫做曲面上的正常点。 85．曲面r?r(u,v)在正常点r(u0,v0)处的切平面方程是 。
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86．对于曲面r?r(u,v)上的正常点r(u0,v0)，过该点的法线方程是 。
87．曲面r?{x,y,z(x,y)}在点（x0,y0）处的切平面的方程是 。
88．对于曲面r?r(u,v)，方程??r(u,v)??(ru?rv) （?为参数）表示曲面在正常点P(u,v)的 线。
89．曲面z=z(x,y)在(x0,y0,z0)点的法线方程是 。 90．曲面r?r(u,v)上的曲线u=u(t),v=v(t) 在A(t0)与B(t)之间的弧长S= 。
91．平面的第一基本形式是I = 。
92．曲面r?r(u,v)上两方向du:dv与?u:?v垂直的条件用第一基本量表示是 。 93．设曲面上两坐标曲线的交角为?，则用曲面的第一基本量表示cos?= 。 94．曲面的坐标网为正交网的充分必要条件是 。
95．已知曲面的第一基本量??2du2?(u2?4)dv2 ，则曲面的曲纹坐标网一定是 。
96．已知曲面r?r(u,v)有dr?4du?4dudv?3dv ，则曲面的第一类基本量E、F、G 分别是 。
97．已知曲面r?r(u,v)有dr?4du?3dv，则曲面上任意曲线的弧长平方
222222ds2= 。
98．已知曲面r?r(u,v)有dr?4du?3dv，则曲面上曲线u=u(t), v=v(t)从t0到t的弧长s= 。
99．设曲面r?r(u,v)上一块曲面D，其在(u,v)平面上对应的区域为D ,则曲面域D 的面积用第一基本量可表示为 。 100．已知一族曲线，则与其正交的另一族曲线叫做这族曲线的 。 101．已知曲面S: r?r(u,v)上的一族曲线Adu+Bdv=0， S的第一基本量是E，F，G，则这族曲线的正交轨线的微分方程是 。
102．曲面之间的一个变换，如果它保持曲面上任一曲线的长度不变，则这个变换称为 。 103．两个曲面之间的一个变换是 的充要条件是经过适当参数选择以后，它们具有相同的第一基本形式。
104．曲面上可以仅仅用第一基本量E,F,G 表示出来的几何量称为曲面
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