课时跟踪检测（十九）
1．(2017·石家庄质检)设M，N，T是椭圆＋＝1上的三个点，M，N在直线x＝8
1612上的射影分别为M1，N1.
(1)若直线MN过原点O，直线MT，NT的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值； (2)若M，N不是椭圆长轴的端点，点L的坐标为(3,0)，△M1N1L与△MNL的面积之比为5∶1，求MN中点K的轨迹方程．
x2y2
y0－q解：(1)证明：设M(p，q)，N(－p，－q)，T(x0，y0)，则k1k2＝
x0－p2
y0＋qy20－q＝22，x0＋px0－p??16＋12＝1，
又?xy??16＋12＝1，
2
0
20
p2q2
故
22
x2y20－p0－q16
＋
12
＝0，
2y2330－q即22＝－，所以k1k2＝－，为定值． x0－p44
(2)设直线MN与x轴相交于点R(r,0)，
S△MNL＝|r－3|·|yM－yN|，S△M1N1L＝·5·|yM1－yN1|.
因为S△M1N1L＝5S△MNL，
11
所以·5·|yM1－yN1|＝5·|r－3|·|yM－yN|，
22又|yM1－yN1|＝|yM－yN|，
解得r＝4(舍去)，或r＝2，即直线MN经过点F(2,0)． 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，K(x0，y0)，
①当MN垂直于x轴时，MN的中点K即为F(2,0)；
1212
xy??＋＝1，
②当MN与x轴不垂直时，设MN的方程为y＝k(x－2)，则?1612
??y＝kx－
得，(3＋4k)x－16kx＋16k－48＝0.
16k16k－48
x1＋x2＝2，x1x2＝2.
3＋4k3＋4k8k－6kx0＝，y＝022. 3＋4k3＋4k2
2
2
2
2
2
2
22
消去y
4y0
消去k，整理得(x0－1)＋＝1(y1≠0)．
3
2
2
4y0
经检验，(2,0)也满足(x0－1)＋＝1.
3
2
2
4y综上所述，点K的轨迹方程为(x－1)＋＝1(x>0)．
3
2
2
y2
2.(2018届高三·湘中名校联考)如图，曲线C由上半椭圆C1：2＋
ax22
2＝1(a>b>0，y≥0)和部分抛物线C2：y＝－x＋1(y≤0)连接而成，C1b与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为(1)求a，b的值；
(2)过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q(均异于点A，B)，是否存在直线l，使得以PQ为直径的圆恰好过点A，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)在C2的方程中，令y＝0，可得x＝±1， 所以A(－1,0)，B(1,0)．
又A，B两点是上半椭圆C1的左、右顶点，所以b＝1. 设C1的半焦距为c，由＝3. 2
ca3222
及a－c＝b＝1可得a＝2，∴a＝2，b＝1. 2
(2)由(1)知，上半椭圆C1的方程为＋x＝1(y≥0)．
4
由题易知，直线l与x轴不重合也不垂直，设其方程为y＝k(x－1)(k≠0)． 代入C1的方程，整理得(k＋4)x－2kx＋k－4＝0. 设点P的坐标为(xP，yP)，又直线l经过点B(1,0)， 2kk－4
∴xP＋1＝2，xP·1＝2.
k＋4k＋4
－8k?k－4－8k?从而yP＝2，∴点P的坐标为?2，2?. k＋4?k＋4k＋4?
??y＝kx－
同理，由?2
?y＝－x＋?
2
2
22
2
2
2
y2
2
ky2
，
得点Q的坐标为(－k－1，－k－2k)． 2k―→―→
∴AP＝2(k，－4)，AQ＝－k(1，k＋2)．
k＋4依题意可知AP⊥AQ，
－2k―→―→
∴AP·AQ＝0，即2[k－4(k＋2)]＝0，
k＋4
2
8
∵k≠0，∴k－4(k＋2)＝0，解得k＝－.
38
经检验，k＝－符合题意，
38
故直线l的方程为y＝－(x－1)．
3
x2y21
3.(2017·张掖模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的离心率为，
ab2
5―→
右焦点为F，右顶点为E，P为直线x＝a上的任意一点，且(PF＋
4―→―→
PE)·EF＝2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过F且垂直于x轴的直线AB与椭圆交于A，B两点(点A在第一象限)，动直线l与椭圆C交于M，N两点，且M，N位于直线AB的两侧，若始终保持∠MAB＝∠NAB，求证：直线MN的斜率为定值．
?5?解：(1)设P?a，t?，F(c,0)，E(a,0)， ?4?
―→?5→?a→?―?―
则PF＝?c－a，－t?，PE＝?－，－t?，EF＝(c－a,0)，
?4??4?
―→―→―→?3??3?所以(PF＋PE)·EF＝?c－a，－2t?·(c－a，0)＝2，即?c－a?·(c－a)＝2，又
?2??2?
c1
e＝＝， a2
所以a＝2，c＝1，b＝3， 从而椭圆C的方程为＋＝1.
43
x2y2
?3?(2)由(1)知A?1，?，设M(x1，y1)，N(x2，y2)， ?2?
设MN的方程：y＝kx＋m，代入椭圆方程＋＝1，
43得(4k＋3)x＋8kmx＋4m－12＝0， 8km4m－12
所以x1＋x2＝－2，x1x2＝2. 4k＋34k＋3
又M，N是椭圆上位于直线AB两侧的动点，若始终保持∠MAB＝∠NAB， 33
y2－22
则kAM＋kAN＝0，即＋＝0，
x1－1x2－1
2
2
2
2
x2y2
y1－