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导体棒在磁场中运动问题
【问题概述】导体棒问题不纯属电磁学问题，它常涉及到力学和热学。往往一道试题包含
多个知识点的综合应用，处理这类问题必须熟练掌握相关的知识和规律，还要求有较高的分析能力、逻辑推断能力，以及综合运用知识解决问题的能力等。导体棒问题既是高中物理教学的重要内容，又是高考的重点和热点问题。
1．通电导体棒在磁场中运动：通电导体棒在磁场中，只要导体棒与磁场不平行，磁场对导体棒就有安培力的作用，其安培力的方向可以用左手定则来判断，大小可运用公式F = BILsinθ来计算，若导体棒所在处的磁感应强度不是恒定的，一般将其分成若干小段，先求每段所受的力再求它们的矢量和。由于安培力具有力的共性，可以在空间和时间上进行积累，可以使物体产生加速度，可以和其它力相平衡。 【基本模型】 说明 基本图 v – t 能量 导体棒以初速度v0向右开始运动，定值电阻为 动能 → 焦耳热 R，其它电阻不计。 导体棒受向右的恒力F从静止开始向右运动，定值电阻为R，其它电 外力机械能→ 动能阻不计。 + 焦耳热 导体棒1以初速度v0向右开始运动，两棒电阻分别为R1和R2，质量 动能1变化→ 动能分别为m1和m2，其它 2变化 + 焦耳热 电阻不计。 导体棒1受恒力F从静止开始向右运动，两棒外力机械能→ 动能电阻分别为R1和R2， 1 + 动能2 + 焦耳质量分别为m1和m2， 热 其它电阻不计。 如图1所示，在竖直向下磁感强度为B的匀强磁场中，有两根水平放置相距为L且足够长的平行金属导轨AB、CD，导轨AC端连接一阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金b 属棒ab，质量为m，不计导轨和金属棒的电阻及它们
C D 间的摩擦。若用恒力F水平向右拉棒运动 R F
A ⑴．电路特点：金属棒ab切割磁感线，产生感应电动
a B word范文
图1
势相当于电源，b为电源正极。当ab棒速度为v时，其产 生感应电动势E＝BLv。
⑵．ab棒的受力及运动情况：棒ab在恒力F作用下向 右加速运动，切割磁感线，产生感应电动势，并形成感应电 流，电流方向由a→b，从而使ab棒受到向左的安培力F安， N 对ab棒进行受力分析如图2所示：
竖直方向：重力G和支持力N平衡。
F安 F B2L2水平方向：向左的安培力Fv安＝R为运动的阻力
G 随v的增大而增大。
图2
B2L2ab棒受到的合外力F－v合＝FR随速度v的增大而减小。
ab棒运动过程动态分析如下：随ab棒速度v↑→ 感应电动势E↑→ 感应电流I＝
ER↑→安培力F安＝BIL↑→ F合(＝ F－F安)↓→ab棒运动的加速度a↓,当合外力F合减小到零时，加速度a减小到零，速度v达到最大vmax，最后以vmax匀速运动。
⑶．ab棒的加速度、速度，R上的电功率何时最大？
ab棒受到的合外力F＝F－B2L2v合R
刚开始运动时，ab棒初速度v＝0，由知：此时合外力最大，加速度最大，a Fmax＝m。 运动过程中，ab棒先做加速度减小的加速运动，当加速度减小到零，即：
B2F－L2vmaxR＝0时，速度达到最大，最大速度vmax＝FRB2L2
ab棒的速度最大时，产生的感应电动势最大，电路中感应电流最大，R上消耗的电功
率最大，PF2Rmax＝B2L2。
⑷．ab棒运动过程中，能量转化情况：
稳定前，棒ab做加速度减小的加速运动，恒力F做的功一部分用于克服安培力做功转化成电能，这部分电能在电流通过电阻R时以焦耳热的形式放出，另一部分用来增加棒ab的动能。
稳定后，ab棒匀速运动，恒力F做的功全部转化为电路的电能，最后通过电阻R以焦
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耳热的形式放出。
〖例1〗如图所示在倾角为300的光滑斜面上垂直放置一根长为L，质量为m，的通电直导
体棒，棒内电流方向垂直纸面向外，电流大小为I，以水平向右为x轴正方向，竖直向上为y轴正方向建立直角坐标系，若所加磁场限定在xoy平面内，试确定以下三种情况下磁场的磁感应强度B。
⑴ 若要求所加的匀强磁场对导体棒的安培力方向水平向左，使导体棒在斜面上保持静止。 ⑵ 若使导体棒在斜面上静止，求磁感应强度B的最小值。 y ⑶ 试确定能使导体棒在斜面上保持静止的匀强磁场的所有可能方向。 θ o x
〖拓展1〗物理学家法拉第在研究电磁学时，亲手做过许多实验。如图所示的就是著名的
电磁旋转实验。它的现象是：如果载流导线附近只有磁铁的一个极，磁铁就会围绕导线旋转；反之，载流导线也会围绕单独的某一磁极旋转，这一
装置实际上就是最早的电动机。图中的a是可动磁铁（上端为
N极），b是固定导线，c是可动导线，d是固定磁铁（上端为
b c N极），图中黑色部分表示汞，下部接在电源上，则从上向下 a d 俯视时a、c的旋转情况是 （ ）
A．a顺时针，c顺时针 B．a逆时针，c逆时针 C．a逆时针，c顺时针 D．a顺时针，c逆时针
〖例2〗电磁炮是一种理想的兵器，它的主要原理如右图所示，利用这种装置可以把质量
为2.0g的弹体（包括金属杆EF的质量）加速到6km/s，若这种装置的轨道宽为2m，长为100m，轨道摩擦不计，求轨道间所加匀强磁场的磁感应强度为多大，磁场力的最大功率是多少？
I F B
I E
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〖拓展2〗质量为m，长为L的金属棒MN，通过柔软金属丝挂于a、b两点，ab点间电压
为U，电容为C的电容器与a、b相连，整个装置处于竖直向上的匀强磁场B中，接通S，电容器瞬间放电后又断开S，试求MN能摆起的最大高度是多少？
2．导体棒在磁场中运动产生感应电动势：导体棒在磁场中运动时，通常由于导体棒切割磁感应线而产生一定的感应电动势，如果电路闭合将在该闭合电路中形成一定强度的感应电流，将其它形式的能转化成电能，该过程中产生的感应电动势大小遵循法拉第电磁感应定律E = Blvsinθ，方向满足右手定则。由于导体棒的运动形式不一，此类问题通常分成平动和转动两大类，在平动中还可分为双棒运动和导体棒的渐变运动等情况。
【平动切割】处在磁场中的导体棒由于受到外力的作用而沿某一方向运动，外力必然要克
服安培力做功，将其它形式的能转化成电能。
〖例3〗如图所示两条互相平行的光滑金属导轨位于水平面内，距离为l = 0.2m，在导轨的
一端接有阻值为R = 0.5Ω的电阻，在x ≥ 0处有一与水平面垂直的均匀磁场，磁感应强度为B = 0.5T。一质量为m = 0.1kg的金属直杆垂直放在导轨上，并以v0 = 2m/s的初速度进入磁场，在安培力和一个垂直于杆的水平外力F的共同作用下作匀变速运动，加速度大小恒为a = 2m/s2，方向与初速度方向相反。设导轨与金属杆的电阻都可以忽略，且接触良好。求：
⑴ 电流为零时金属棒所处的位置？
⑵ 电流为最大值的一半时施加在金属杆上外力F的大小和方向？ ⑶ 保持其它条件不变，而初速v0取不同的值，求开始时F的方向
与初速v0取值的关系?
〖拓展3〗近期《科学》中文版的文章介绍了一种新技术——航天飞缆，
航天飞缆是用柔性缆索将两个物体连接起来在太空飞行的系统。飞缆系统在太空飞行中能为自身提供电能和拖曳力，它还能清理“太空垃圾”等。从1967年至1999年的17次试验中，飞缆系统试验已获得部分成功。该系统的工作原理可用物理学的基本定律来解释。图为飞缆系统的简化模型示意图，图中两个物体P、Q的质量分别为 mp、mQ，柔性金属缆索长为 l，外有绝缘层，系统在近地轨道作圆周运动，运动过程中 Q 距地面高为 h。设缆索总保持指向地心，P 的速度为 vp。已知地球半径为 R，地面的重力加速度为 g。
⑴ 飞缆系统在地磁场中运动，地磁场在缆索所在处的磁感应强度大小
为 B，方向垂直于纸面向外。设缆索中无电流，问缆索 P、Q 哪
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端电势高?此问中可认为缆索各处的速度均近似等于 vp，求 P、Q 两端的电势差？ ⑵ 设缆索的电阻为 R1，如果缆索两端物体P、Q通过周围的电离层放电形成电流，相
应的电阻为R2，求缆索所受的安培力多大？ ⑶ 求缆索对Q的拉力FQ？
【导体棒的渐变运动】导体棒在切割磁感线运动时，由于有能量的转化，其运动速度可能
会发生相应的变化，致使其切割时产生的感应电动势也随之而变，此时由于安培力发生变化使物体处于一种渐变运动状态。
〖例4〗如图所示两根竖直放在绝缘地面上的金属框架宽为l，磁感应强度为B的匀强磁场
与框架平面垂直，一质量为m阻值为r的金属棒放在框架上，金属棒接触良好且无摩擦，框架上方串接一个定值电阻R，不计导轨电阻，试分析松手后金属棒在磁场中的运动情况？
〖拓展4〗如图所示两根竖直放在绝缘地面上的金属框架宽为l，磁感应强度为B的匀强磁
场与框架平面垂直，一质量为m的金属棒放在框架上，金属棒接触良好且无摩擦，框架上方串接一个电容为C的电容器，开始时不带电，现将金属棒从离地高为h处无初速释放，求棒落地的时间t是多少？
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【双导体棒的切割运动】对于双导体棒运动的问题，通常是两棒与导轨构成一个闭合回路，
当其中的一棒在外力作用下获得一定速度时必然在磁场中切割磁感线在该闭合电路中形成一定的感应电流，另一根导体棒在磁场中通电时就在安培力的作用下开始运动，一旦运动起来也将切割磁感线产生一定的感应电动势，对原来电流的变化起阻碍作用。 〖例5〗两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l，导轨
上面横放着两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示，两根导体棒的质量皆为m，电阻皆为R，回路中其余部分的电阻可不计，在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B，设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v0，若两导体棒在运动中始终不接触，求： ⑴ 在运动中产生的焦耳热量是多少。
⑵ 当ab棒的速度变为初速度的 3/4时，cd棒的加速度是多少？
〖拓展5〗图中a1b1c1d1和a2b2c2d2为在同一竖直面内的金属导轨，处在磁感应强度为B的
匀强磁场中，磁场方向垂直导轨所在的平面(纸面)向里。导轨的a1b1段与a2b2段是竖直的，距离为l1；c1d1段与c2d2段也是竖直的，距离为l2。x1y1与x2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1和m2，它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。F为作用于金属杆x1y1上的竖直向上的恒力。已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。