中值滤波算法分析与设计 070209065
中值滤波算法分析与设计
作者姓名：穆清山 指导老师：董小明
摘要：由于成像传感器噪声，相片颗粒及图像在传输过程中的通道传输误差等，会使得图像上会出现随机的、离散的、孤立的像素点，即图像噪声。图像噪声在视觉上通常和它们相邻像素明显不同，表现为黑区域上的白点或者白区域上的黑点，影响到图像的视觉效果和有关的处理工作。所以，需要对图像中的噪声进行消除，本论文主要阐述了中值滤波的工作原理及其他滤波方法的比较。 关键词：图像处理、中值滤波、椒盐噪声、带权值的中值滤波
引言
由于图像在成像上,传输和转换过程中受设备条件、传输信道以及照明等客观因素的影响，获得的图像往往存在某种程度上的质量下降。在大多数情况下，可以采用线性滤波方法，此方法可以有效将受到噪声污染而的图像复原。但是多数线性滤波的低通性, 会使去除了噪声的同时也模糊了图像的边缘,复原的效果不够理想。直到1971年，由伟大的图像科学家 Turky 提出中值滤波技术，它带领着人们走进了一片崭新的天地。
1 中值滤波研究现状
中值滤波因为其特殊的对输入信号序列的映射关系，在去除脉冲噪声上，有着较好的效果，但中值滤波也会有一定程度上的图像模糊。因此很多学者针对中值滤波技术进行研究与改进，希望可以得到更好的滤波技术，更好的去解决去噪和保护图像细节这一矛盾。
在1971年，由学者Tukey首次提出了非线性滤波器的概念，并随后在他的论文中介绍了最初的非线性滤波器：中值滤波器。后来，被其他学者称为标准中值滤波器(Standard Median Filter, SM)。SM采用一个固定大小的滑动窗口对图像进行过滤，对于当前窗口内像素点进行排序，采用序列中间的值作为模板窗口中心的输出值。后来Brownrigg基于标准的中值滤波器，提出了加权中值滤波(Weigthed Median Filter, WM) ，在该方法中对序列中各个元素加以权，通过权值改变窗口内各个像素点的重要程度，使噪声点更易被滤除，而信号点则更好的被保留。Ko和Lee分析WM滤波器，发现其权值设定的不确定性，改进了权值设定方式，提出了新的中值滤波算法：中心权值中值滤波器((Center-Weighted Median Filter，CWM) ，该方法则是给予窗口中心像素点一个指定的权值，其他像素点则权值置为1，该方法较之WM显的更为简单，但同样具有WM的去噪效果。Hwang和Haddad在研究中值滤波方法的自适应方法后，也得到了比较好的结果，并在其著作中提出两种自适应算法：基于排序的自适应中值滤波（ranked-order based adaptive median filter，RAMF）和基于滑窗大小的自适应中值滤波（impulse size based adaptive median filter，SAMF），该两种算法通过自适应，更好的保护了图像的细节信息，但也在一定程度上降低了去噪的效率。这些方法在各自的研究领域中有着重大的贡献，对于改进中值滤波器的性能方面的研究与发展，起着重要的作用。
[8]
[5][4]
[3]
2中值滤波
中值滤波的原理是：采用一个含有奇数点的滑动窗口，将窗口内的所有灰度值排序并用其中值代替
第 1 页 共 1 页
中值滤波算法分析与设计 070209065
窗口中心像素点的灰度值。中值滤波在二维数字图像中，对于滤波窗口为A的二维中值滤波可以定义为式2.1：
f(i,j)?MedA?Xij? 2.1
在该式中，MedA代表窗口A中的所有像素点灰度值的中值，xij用于定位窗口，代表窗口中心的像素点。通过用中值代替窗口中心灰度值的方式，可以有效的保持阶跃函数以及斜坡函数不发生变化，并将周期值小于窗口一半的脉冲抑制。根据中值滤波的这些特点，如果将其应用于数字图像去噪工作的话，可以较好的保留图像边缘信息，并且可以去除一定的均匀分布噪声和椒盐噪声
[12]
。然而这种中值滤波方
[8]
法需要对滑动窗口内的像素点灰度值进行排序，需要进行大量数学运算，而且在图像边缘区域还会保留一定的残留噪声。后来H. Hwang和R. A. Haddad提出一种基于自适应的中值滤波方法，并在此文中提出两种自适应算法：基于排序的自适应中值滤波（ranked-order based adaptive median filter，RAMF）和基于滑窗大小的自适应中值滤波（impulse size based adaptive median filter，SAMF）。RAMF是对当前灰度值进行判断，如果是噪声点则进行中值滤波，如果是信号点则不进行操作；SAMF则是通过在调整滑动窗口的大小来实现自适应。后来也有较多学者针对自适应中值滤波做出一些改进
[7]
[9]
[9]
。
当前基于中值滤波的去噪方法还有噪声自适应软开关滤波(noise-adaptive soft switching filter，NASWF)，模糊多极中值滤波(fuzzy multilevel median filter，FMMF)等。这些方法都较好的解决了去噪和保护图像边缘信息的矛盾，但由于算法的复杂度偏高，且需要较长的运行时间，在实际应用中也受到了一定的限制。
2.1中值滤波的主要特性
中值滤波的主要特性有一下几点[3]:
1.对某些信号的不变性。对于某些特定的输入信号，中值滤波输出信号保持与输入信号相同，所以相对于一般的线性滤波器(比如均值滤波)，中值滤波能更好的保护图像细节。
2.滤除噪声的性能。中值滤波是非线性的运算，因此对随机性质的噪声输入，数学分析是相当复杂的。对于零均值正态分布的噪声输入，中值滤波输出和输入噪声的分布密度有关，输出噪声方差与输入噪声密度函数的平方是成反比的。对随机噪声的抑制能力，中值滤波比均值滤波要差些。但对于脉冲干扰来讲，特别是脉冲宽度小于滤波窗口长度之半，相距较远的窄脉冲，中值滤波是很有效的。
3.中值滤波的频谱特性。因为中值滤波是非线性运算，输入的频率与输出的频率上不存在一一对应的关系，不能用一般线性滤波器频率特性分析方法，而要采用总体实验观察法。经实验表明，中值滤波器的频率响会随着输入信号的频谱呈现出不规则波动不大的曲线。中值滤波的频谱特性起伏不大，可以认为信号经中值滤波后的频谱基本没有改变。中值滤波器在算法设计上使和周围像素灰度值相差较大的点处理后能与周围的像素灰度值比较接近，因此可以衰减随机噪声，特别是脉冲噪声等，并且在处理时不是简单的取均值，产生的模糊要少的多，即中值滤波既能消除噪声，还能保持图像中的细节部分，防止边缘模糊。
2.2常规中值滤波器
2.2.1一维中值滤波的原理
当n为奇数时，n个数x1，x2，…，xn为的中值就是按数值大小顺序处于中间位置的数(中间数);
当n为偶数时，我们定义两个中间数平均值为中值。由于n为奇数或偶数，中值滤波器的定义差别很小，又由于在大多数使用中n为奇数，所以我们用符号med(x1，x2，…，xn)来表示中值,例如:med(O，3，4，0，7)=3。
定义一个为n的奇数，对序列fi,i?z的标准中值滤波器定义如式2.2所示:
第 2 页 共 2 页
??中值滤波算法分析与设计 070209065
y1?med?fi?k,...f1,...fi?k?
i?Z
2.2
式中k=(n-1)/2，Z表示所有自然数的集合。式(2-1)定义的中值滤波器也称为滑动中值滤波器或游动中值滤波器。由上述定义可得到一维信号的中值滤波工作原理:中值滤波器的移动窗口A的长度通常为奇数，任意时刻窗口内所有观测值按照数值大小排队，中间位置观测值作为中值滤波器的输出值。
2.每边扩展的k个信号值都与各自两端的信号值相同，如式2.4所示，
f?k?1?f?k?2?...?f0?f1
fN?1?fN?2?...fN?K?fN 2.4
令中值滤波器窗口长度n=2k+1，如果信号中脉冲宽度为大于或等于k+1，滤波后该脉冲将得到保留;如果信号脉冲宽度小于或等于k，滤波后该脉冲将被去除。这就是中值滤波器去除脉冲噪声而保护信号细节(如边缘等)的性质。
对于一个有限长序列f1,f2，…，fi，…fn，若滤波窗口长度为L=k2+1，为了使输出信号长度与输1.每边扩展的k个信号值都与各自两边的信号值相对应，如式2.3所示，
f1?i?fi
fN?1?fN?1?i
i??1,k?
入信号长度同样长，在滤波前要在输入信号两边分别扩展k个信号，扩展的方法一般有两种:
i??1,k?
2.3
3带权值的中值滤波方法
带权值的中值滤波方法（the weighted median filter，WM），是由Brownrigg提出的一种改进的中值
滤波方法[4]。该方法的步骤与SM基本一致，不同之处在于WM在排序取中值之前，先对窗口内所有像素点设置相应的权值，并在排序时每个像素点需要按照其权值的数值出现多次。
我们假定点集{X(*,*)}为输入窗口的像素点集合，对应的{Y(*,*)}为输出窗口像素点集合。对于当前进行滤波操作的像素点(s, t)，以其为中心选取一个(2N+1)*(2N+1)的滤波窗口。对于窗口Win，其权值。其中C为奇数，且应大于或等于窗口的大小。在排序操作时，则窗口内任意像素点X(i,j)需重复h(i,j)次，窗口中心点(s,t)的值被修改为：
Y(s,t)?median{h(i,j)个X(i,j)|X(i,j)?Win} 3.1
以一个一维的WM滤波窗口Win为例，设Win是以X(4,0)为中心，左右各取一个像素点的窗口，
即。设该窗口各个像素点的权值，对于该窗口，其输出值，也就是滤波后窗口中心像素点Y值为：
,0),X(3,0),X(4,0),X(4,0),X(4,0),X(5,0),X(5,0)} Y(0,0)?median{X(3 3.2
通过窗口内各个像素点的权值影响，可以在一定程度上加强滤波器输出结果与窗口内其他像素点的
联系。通过设定合适的权值，WM滤波方法相比SM可以更好的保护图像的细节及边缘信息，同时也较好的去除噪声。
后来由S.J.Ko等人提出一种改进的带权值的中值滤波方法：中心权值中值滤波( Center Weighted Median Filter, CWM)。CWM是在WM的基础上设定了加权值的规则，以得到更好的效果。在CWM中，窗口中心点( s , t )的权值为2K+1，而其他像素点的值均为1，即CWM只给窗口中心值增加额外的权值。不难看出，当K取0的时候，CWM退化成为WM；而当2K+1的值等于或大于窗口的大小时，序列中值永远为( s , t )，CWM则成了恒等滤波，即滤波器的输出值恒等于滤波前窗口中心值，失去了去噪效 第 3 页 共 3 页