创新设计(全国通用)2018版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数的应用 第2课时

第三章 导数及其应用 第2讲 导数的应用 第2课时 利用导数研究

函数的极值、最值练习 理 北师大版

基础巩固题组 (建议用时:40分钟)

一、选择题

1.(2016·四川卷)已知a为函数f(x)=x-12x的极小值点,则a=( ) A.-4

2

3

B.-2 C.4 D.2

解析 f′(x)=3x-12,∴x<-2时,f′(x)>0,-22时,

f′(x)>0,∴x=2是f(x)的极小值点.

答案 D

12

2.函数f(x)=x-ln x的最小值为( )

21A. 2

B.1

2

C.0 D.不存在

1x-1

解析 f′(x)=x-=,且x>0.令f′(x)>0,得x>1;令f′(x)<0,得0

xx11在x=1处取得极小值也是最小值,且f(1)=-ln 1=. 22答案 A

3.(2017·合肥模拟)已知函数f(x)=x+bx+cx的图像如图所示,则

2

x21+x2等于( )

3

2

2A. 38C. 3

4B. 3D.16 3

解析 由图像可知f(x)的图像过点(1,0)与(2,0),x1,x2是函数f(x)的极值点,因此1+b+c=0,8+4b+2c=0,解得b=-3,c=2,所以f(x)=x-3x+2x,所以f′(x)222

=3x-6x+2.x1,x2是方程f′(x)=3x-6x+2=0的两根,因此x1+x2=2,x1x2=,所

348222

以x1+x2=(x1+x2)-2x1x2=4-=.

33答案 C

4.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最省,则圆柱的底面半径为( ) A.3

B.4

C.6

D.5

3

2

272

解析 设圆柱的底面半径为R,母线长为l,则V=πRl=27π,∴l=2,要使用料最省,

R只须使圆柱的侧面积与下底面面积之和S最小. 2722

由题意,S=πR+2πRl=πR+2π·. R54π

∴S′=2πR-2,令S′=0,得R=3,则当R=3时,S最小.故选A.

R答案 A

5.(2017·东北四校联考)已知函数f(x)=x+ax+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( ) A.(-1,2) C.(-3,6)

2

3

2

B.(-∞,-3)∪(6,+∞) D.(-∞,-1)∪(2,+∞)

解析 ∵f′(x)=3x+2ax+(a+6), 由已知可得f′(x)=0有两个不相等的实根. ∴Δ=4a-4×3(a+6)>0,即a-3a-18>0, ∴a>6或a<-3. 答案 B 二、填空题

6.(2017·汉中模拟)已知函数f(x)=x+ax+3x-9,若x=-3是函数f(x)的一个极值点,则实数a=________. 解析 f′(x)=3x+2ax+3.

依题意知,-3是方程f′(x)=0的根, 所以3×(-3)+2a×(-3)+3=0,解得a=5. 经检验,a=5时,f(x)在x=-3处取得极值. 答案 5

??x-3x,x≤0,

7.(2016·北京卷改编)设函数f(x)=?则f(x)的最大值为________.

?-2x,x>0,?

3

2

2

3

2

2

2

解析 当x>0时,f(x)=-2x<0;

当x≤0时,f′(x)=3x-3=3(x-1)(x+1),当x<-1时,f′(x)>0,f(x)是增函数,当-1

8.设a∈R,若函数y=e+ax有大于零的极值点,则实数a的取值范围是________. 解析 ∵y=e+ax,∴y′=e+a. ∵函数y=e+ax有大于零的极值点,

2

2

xxxx则方程y′=e+a=0有大于零的解, ∵x>0时,-e<-1,∴a=-e<-1. 答案 (-∞,-1) 三、解答题

9.(2015·安徽卷)已知函数f(x)=2(a>0,r>0).

(x+r)(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性; (2)若=400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.

解 (1)由题意可知x≠-r,所求的定义域为(-∞,-r)∪(-r,+∞).

xxxaxarf(x)=

axax2=22,

(x+r)x+2rx+ra(x2+2rx+r2)-ax(2x+2r)a(r-x)(x+r)

f′(x)==. 2224

(x+2rx+r)(x+r)

所以当x<-r或x>r时,f′(x)<0; 当-r0.

因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);

f(x)的单调递增区间为(-r,r).

(2)由(1)的解答可知f′(r)=0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+∞)上单调递减. 因此,x=r是f(x)的极大值点,

ara400

所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)===100, 2=(2r)4r4f(x)在(0,+∞)内无极小值;

综上,f(x)在(0,+∞)内极大值为100,无极小值. 10.已知函数f(x)=(x-k)e. (1)求f(x)的单调区间;

(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 解 (1)由题意知f′(x)=(x-k+1)e. 令f′(x)=0,得x=k-1.

xxf(x)与f′(x)随x的变化情况如下表:

x f′(x) f(x) (-∞,k-1) - k-1 0 -ek-1(k-1,+∞) + 所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞). (2)当k-1≤0,即k≤1时,f(x)在[0,1]上单调递增,

3

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=-k; 当0

f(x)在[0,k-1]上单调递减,在[k-1,1]上单调递增,

所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)=-e

k-1

当k-1≥1,即k≥2时,f(x)在[0,1]上单调递减, 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e. 综上,当k≤1时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(0)=-k; 当1

f(k-1)=-ek-1;

当k≥2时,f(x)在[0,1]上的最小值为f(1)=(1-k)e.

能力提升题组 (建议用时:25分钟)

11.(2017·石家庄质检)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x-ax-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为( ) A.2

2

3

2

B.3 C.6 D.9

解析 f′(x)=12x-2ax-2b,则f′(1)=12-2a-2b=0,则a+b=6,

?a+b?=9,当且仅当a=b=3时取等号.

又a>0,b>0,则t=ab≤???2?

答案 D

1322

12.(2017·上饶调研)若函数f(x)=x+x-在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a33的取值范围是( ) A.[-5,0) C.[-3,0)

2

2

B.(-5,0) D.(-3,0)

解析 由题意,f′(x)=x+2x=x(x+2),故f(x)在 (-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其图像如图所示.

13222

令x+x-=-得,x=0或x=-3,则结合图像可知,333

??-3≤a<0,?解得a∈[-3,0),故选C. ?a+5>0,?

答案 C

13.函数f(x)=x-3ax+b(a>0)的极大值为6,极小值为2,则f(x)的单调递减区间是________.

解析 令f′(x)=3x-3a=0,得x=±a,

4

3

2

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