课时规范练
(授课提示：对应学生用书第271页)
A组 基础对点练
1．(2018·三明期中)设数列{an}是首项为1，公比为－3的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＋a5＝( B ) A．61 C．－25
B．121 D．27
2．等比数列{an}的前n项和为Sn.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( C ) 1A.3 1C.9
1B．－3 1D．－9
2
3．设首项为1，公比为3的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( D ) A．Sn＝2an－1 C．Sn＝4－3an
B．Sn＝3an－2 D．Sn＝3－2an
4．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，则公比q等于( D ) A．－3 C．1
B．－1 D．3
5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( B ) A．1盏 C．5盏
B．3盏 D．9盏
6．若等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( D ) A．5 C．log345
B．9 D．10
7．已知数列{an}为等比数列，a5＝1，a9＝81，则a7＝( B ) A．9或－9 C．27或－27
B．9 D．27
8．(2017·郑州质检)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若a25＝2a3a6，S5＝－62，则a1
的值是 －2 .
解析：设{an}的公比为q.由－62，a1＝－2.
9．(2018·启东市校级期中)已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a2数列{bn}7＋a8＝0，是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11＝ 8 .
2解析：各项不为0的等差数列{an}满足a6－a27＋a8＝0，又a6＋a8＝2a7，可得2a7＝a7，
a1?1－224225
a5＝2a3a6得(a1q)＝2a1q·a1q，∴q＝2，∴S5＝
1－2
5
?
＝即有a7＝2(0舍去)，
数列{bn}是公比为q的等比数列，且b7＝a7＝2，
1863
则b2·b8·b11＝b1q·b1q7·b1q10＝b31q＝(b1q)＝ 3b37＝2＝8.
10．(2018·宁城县模拟)如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树形图形，称为“勾股树”．若某勾股树含1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为2，则其最小正方形的边长为 116 .
2
解析：由题意，正方形的边长构成以2为首项，以2为公比的等比数列． 现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10， 1?2?
∴最小正方形的边长为2×??9＝16. ?2?
3
11．(2018·临沂期中)已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn＝2an＋b(n∈N*，b∈R，b≠0)．
(1)求证：{an}是等比数列； (2)求证：{an＋1}不是等比数列． 3
证明：(1)∵Sn＝2an＋b， 3
∴当n≥2时，Sn－1＝2an－1＋b，
33
两式相减得Sn－Sn－1＝2an＋b－2an－1－b， 33
∴an＝2an－2an－1，∴an＝3an－1.
故{an}是首项a1＝－2b，公比q＝3的等比数列．
(2)假设{an＋1}是等比数列，则有(an＋1)2＝(an＋1＋1)(an－1＋1)， 即a2n＋2an＋1＝an＋1an－1＋an＋1＋an－1＋1. 由(1)知{an}是等比数列，∴a2n＝an＋1an－1， 于是2an＝an＋1＋an－1，即6an－1＝an－1＋9an－1， 解得an－1＝0，这与{an}是等比数列相矛盾， 故假设错误，即{an＋1}不是等比数列．
n＋11
12．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2nan，n∈N*.
?an?
(1)求证：数列?n?为等比数列；
??
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
n＋1an＋11an
解析：(1)证明：由an＋1＝2nan知＝·，
n＋12n
?an?11
∴?n?是以2为首项，2为公比的等比数列． ?
?
?an?11
(2)由(1)知?n?是首项为2，公比为2的等比数列，
?
?
an?1?n∴n＝?2?n，∴an＝2n，
??12n
∴Sn＝21＋22＋…＋2n，① 112n
则2Sn＝22＋23＋…＋n＋1，②
2
n＋2n＋211111n
①－②得，2Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n＋1＝1－n＋1，∴Sn＝2－2n.
22
B组 能力提升练
1．(2018·兴宁区校级期中)设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则公比q＝( B ) A．2 1
C.2
B．－2 1D．－2
2．等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( C ) A．6 C．4
B．5 D．3
3．(2018·南海区模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝2n＋1＋λ，则λ的值为( C ) A．4 C．－2
B．2 D．－4
λ解析：由题意知2Sn＝2n＋1＋λ，∴Sn＝2n＋2， λ
a1＝S1＝2＋2，
λ??λ??
a2＝S2－S1＝?22＋2?－?2＋2?＝2，
????λ??λ??
a3＝S3－S2＝?23＋2?－?22＋2?＝4.
????
λ??
∵a1，a2，a3是等比数列，∴22＝?2＋2?×4，
??解得λ＝－2.
4．已知Sn是各项为正数的等比数列{an}的前n项和，a2·a4＝16，S3＝7，则a8＝( C ) A．32 C．128
B．64 D．256
5．(2016·高考天津卷)设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n<0”的( C ) A．充要条件 B．充分而不必要条件 C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
81
6．若等比数列{an}的各项均为正数，前4项的和为9，积为4，则前4项倒数的和为( D ) 3A.2 C．1
9B．4 D．2
a8＋a91
7．已知等比数列{an}的各项都是正数，且3a1，2a2成等差数列，则＝( D )
2a3，a6＋a7A．6 C．8
B．7 D．9
an－1
8．(2018·长安区二模)已知数列{an}满足a＝2(n≥2)，a1·a2·a3＝64，则log2a1＋log2a2
n＋log2a3＋…＋log2an的最大值为( C ) A．2 C．6
B．4 D．8
an－11
解析：数列{an}满足a＝2(n≥2)，∴该数列为等比数列，公比为2.∵a1·a2·a3＝64，∴
na32＝64，
4解得a2＝4.∴a1＝1＝8.
2
n?n－1??1?1＋2＋…＋(n－1)n
??∴a1a2·…·an＝an×＝8×2－1
2. ?2?则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2an ＝log2(a1a2·…·an)＝3n－
n?n－1?
2
7?49171?＝－2n2＋2n＝－2?n－2?2＋8，
??
当且仅当n＝3或4时，log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2an取得最大值为6.
7
9．(2017·高考江苏卷)等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn，已知S3＝4，63
S6＝4，则a8＝ 32 .
a1?1－q3?7
解析：设等比数列{an}的公比为q，则由S6≠2S3得q≠1，则S3＝＝4，S6＝
1－qa1?1－q6?6311
＝4，解得q＝2，a1＝4，则a8＝a1q7＝4×27＝32. 1－q
10．设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＋a1＝2an，且a1，a2＋1，a3成等差数列，则a1＋a5＝ 34 .
解析：由已知Sn＋a1＝2an，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)． 从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.