2020届高考数学(文)二轮复习专题过关检测(二十二)坐标系与参数方程 Word版含答案

专题过关检测(二十二) 坐标系与参数方程

π??3π??1.(2019·全国卷Ⅲ)如图,在极坐标系Ox中,A(2,0),B?2,?,C?2,?,D(2,4??4??

AB,π),弧?曲线M2是弧

π??所在圆的圆心分别是(1,0),?AB,,CD?1,2?,(1,π),曲线M1是弧???

?. ,曲线M3是弧CD

(1)分别写出M1,M2,M3的极坐标方程;

(2)曲线M由M1,M2,M3构成,若点P在M上,且|OP|=3,求P的极坐标.

AB,解:(1)由题设可得,弧?ρ=2sin θ,ρ=-2cos θ,

?所在圆的极坐标方程分别为ρ=2cos θ,,CDπ??所以M1的极坐标方程为ρ=2cos θ?0≤θ≤?, 4??

?M2的极坐标方程为ρ=2sin θ?≤θ≤

M3的极坐标方程为ρ=-2cos θ?

π

?43π??, 4?

?3π≤θ≤π?.

?

?4?

(2)设P(ρ,θ),由题设及(1)知:

ππ

若0≤θ≤,则2cos θ=3,解得θ=;

46

π3ππ2π

若≤θ≤,则2sin θ=3,解得θ=或θ=; 4433若

3π5π≤θ≤π,则-2cos θ=3,解得θ=. 46

π??π??2π??5π??综上,P的极坐标为?3,?或?3,?或?3,?或?3,?.

6??3??3??6??2.曲线C??x=2cos φ,

的参数方程为?

?y=sin φ?

(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正

π??半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为ρcos?θ+?=2.

4??

(1)写出C??x=x0+tcos α,

的普通方程,并用?

?y=y0+tsin α?

(α为直线的倾斜角,t为参数)的

形式写出直线l的一个参数方程;

(2)l与C是否相交?若相交,求出两交点的距离,若不相交,请说明理由.

解:(1)C的普通方程为+y=1,

4π??由ρcos?θ+?=2得x-y-2=0, 4??π

则直线l的倾斜角为,

4又直线l过点(2,0),

2

?x=2+t,?2

得直线l的一个参数方程为?

2y=t??2(2)将l的参数方程代入C的普通方程得 422

5t+42t=0,解得t1=0,t2=-,

5显然l与C有两个交点,

42

分别记为A,B,且|AB|=|t1-t2|=.

5

??x=tcos α,

3.(2019·成都二诊)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为?

?y=tsin α???x=4+2cos β,

(t为参数,α为倾斜角),曲线C的参数方程为?

?y=2sin β?

x2

2

(t为参数).

(β为参数,β∈[0,

π]).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)写出曲线C的普通方程和直线l的极坐标方程; (2)若直线l与曲线C恰有一个公共点P,求点P的极坐标.

??x=4+2cos β,

解:(1)由曲线C的参数方程?

?y=2sin β,?

2

得(x-4)+y=4.

2

22

∵β∈[0,π],∴曲线C的普通方程为(x-4)+y=4(y≥0). ∵直线l的参数方程为?

??x=tcos α,??y=tsin α

(t为参数,α为倾斜角),

∴直线l的倾斜角为α,且过原点O(极点). ∴直线l的极坐标方程为θ=α,ρ∈R. (2)由(1)可知,曲线C为半圆弧.

若直线l与曲线C恰有一个公共点P,则直线l与半圆弧相切. 21π

设P(ρ,θ)(ρ>0).由题意,得sin θ==,故θ=.

426

而ρ+2=4,∴ρ=23. π??∴点P的极坐标为?23,?. 6??

4.(2019·昆明质检)在平面直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为

222

?x=2+3cos α,

?

?y=3sin α

(α为参数),直线l??x=tcos β,

的参数方程为?

??y=tsin β

(t为参数,

0≤β<π),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线C的极坐标方程;

(2)已知直线l与曲线C相交于A,B两点,且|OA|-|OB|=2,求β. 解:(1)由曲线C的参数方程可得普通方程为(x-2)+y=3, 即x+y-4x+1=0,

所以曲线C的极坐标方程为ρ-4ρcos θ+1=0.

(2)由直线l的参数方程可得直线l的极坐标方程为θ=β(ρ∈R).

因为直线l与曲线C相交于A,B两点,所以设A(ρ1,β),B(ρ2,β)(ρ1>ρ2),

??ρ-4ρcos θ+1=0,

联立得?

??θ=β,

2

2

2

2

2

2

可得ρ-4ρcos β+1=0,

2

122

因为Δ=16cosβ-4>0,所以cosβ>,

4

所以|OA|-|OB|=ρ1-ρ2=?ρ1+ρ2?-4ρ1ρ2=16cosβ-4=2, 解得cos β=±

2π3π,所以β=或. 244

2

2

5.(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线M的极坐标方程为ρ=2cos θ,若极坐标系内异于

O的三点A(ρ1,φ),B?ρ2,φ+?,C?ρ3,φ-?(ρ1,ρ2,ρ3>0)都在曲线M上.

66

?

?

π??

??

π??

(1)求证:3ρ1=ρ2+ρ3;

3

?x=2-t,?2

(2)若过B,C两点的直线的参数方程为?

1y=t??2的面积.

π?π???解:(1)证明:由题意得ρ1=2cos φ,ρ2=2cos?φ+?,ρ3=2cos?φ-?,

6?6???

(t为参数),求四边形OBACπ?π???则ρ2+ρ3=2cos?φ+?+2cos?φ-?=23cos φ=3ρ1. 6?6???(2)由曲线M的极坐标方程得曲线M的直角坐标方程为x+y-2x=0,

将直线BC的参数方程代入曲线M的直角坐标方程得t-3t=0,解得t1=0,t2=3,3??1

∴在平面直角坐标系中,B?,?,C(2,0),

?22?

π

则ρ2=1,ρ3=2,φ=,∴ρ1=3.

6

1π1π33

∴四边形OBAC的面积S=S△AOB+S△AOC=ρ1ρ2sin +ρ1ρ3sin =.

262646.(2020届高三·湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为

??x=7-t,

?

?y=-2+t?

2

2

2

?

?

(t为参数). 在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C:π?ρ=42sin?θ+?.

4

?

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;

(2)设曲线C与直线l的交点为A,B,Q是曲线C上的动点,求△ABQ面积的最大值.

??x=7-t,

解:(1)由?

?y=-2+t?

2

消去t得x+y-5=0,所以直线l的普通方程为x+y-5=0.

π??2

由ρ=42sin?θ+?=4sin θ+4cos θ,得ρ=4ρsin θ+4ρcos θ,

4??化为直角坐标方程为x+y=4x+4y,

所以曲线C的直角坐标方程为(x-2)+(y-2)=8.

(2)由(1)知,曲线C是以(2,2)为圆心,22为半径的圆,直线l过点P(3,2),可知点

2

2

2

P在圆内.

2

?x=7-t,?2

将直线l的参数方程化为?

2

y=-2+t,??2得t-92t+33=0.

设A,B对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=92,t1t2=33, 所以|AB|=|t2-t1|=?t1+t2?-4t1t2=30. |2+2-5|2

又圆心(2,2)到直线l的距离d==,

22

2

2

代入圆的直角坐标方程,

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