第三章 文法和语言
5. 写一文法，使其语言是偶正整数的集合 要求：
(1) 允许0打头 (2) 不允许0打头 解：
(1) G[S]=({S,P,D,N},{0,1,2,…,9},P,S)
P:
S?PD|D P->NP|N
D?0|2|4|6|8
N->0|1|2|3|4|5|6|7|8|9
(2) G[S]=({S,P,R,D,N,Q },{0,1,2,…,9},P,S)
P:
S?PD|P0|D P->NR|N R->QR|Q D?2|4|6|8
N->1|2|3|4|5|6|7|8|9 Q->0|1|2|3|4|5|6|7|8|9
6. 已知文法G：
<表达式>::=<项>|<表达式>+<项>|<表达式>-<项> <项>::=<因子>|<项>*<因子>|<项>/<因子> <因子>::=(<表达式>)|i。
试给出下述表达式的推导及语法树。
(1)i; (2)(i) (3)i*i; (4)i*i+i; (5)i+(i+i); (6)i+i*i。
解：
(1) v=<表达式>=><项>=><因子>=>i=w
(2) v=<表达式>=><项>=><因子>=>(<表达式>)=>(<项>)=>(<因子>)=>(i)=w (3) v=<表达式>=><项>=><项>*<因子>=><因子>*<因子>=>i*i=w (4) v=<表达式>=><表达式>+<项>=><项>+<项>=><项>*<因子>+<项>
=><因子>*<因子>+<因子>=>i*i+i=w
(5) v=<表达式>=><表达式>+<项>=><项>+<项>=><因子>+<因子>=>i+(<表达式>)
=> i+(<表达式>+<项>)=>i+(<项>+<项>)=> i+(<因子>+<因子>)=>i+(i+i)=w (6) v=<表达式>=><表达式>+<项>=><项>+<项>=><因子>+<项>=>i+<项>
=>i+<项>*<因子>=> i+<因子>*<因子>=> i+i*i=w
语法树见下图:
(1)i <表达式> <项> <因子> i
(2)(i) <表达式> <项> <因子> ( <表达式> )
<项> <因子> i
(4) i*i+i <表达式>
(5) i+(i+i) <表达式>
<表达式> + <项> <项> <因子> i
<因子> ( <表达式> ) <表达式> + <项> <项> <因子>
<因子> i
(3)i*i <表达式> <项>
<项> * <因子> <因子> i
i
(6) i+i*i <表达式>
<表达式> + <项> <项> <因子> i
<项> * <因子> <因子> i
i
<表达式> + <项> <项> <项> * <因子> <因子> i
i
<因子> i
i
7. 为句子i+i*i构造两棵语法树，从而证明下述文法G[<表达式>]是二义的。 <表达式>::=i|(<表达式>)|<表达式><运算符><表达式> <运算符>::=+|-|*|/
解：为句子i+i*i构造的两棵语法树如下：
<表达式> <表达式>
<表达式> + <表达式> <表达式> * <表达式>
i <表达式> * <表达式> <表达式> + <表达式> i
i i i i
所以，该文法是二义的。
8. 习题1中的文法G[S]是二义的吗？为什么？ 答：是二义的。因为对于句子abc可以有两种不同的生成树，即：S=>Ac=>abc和S=>aB=>abc 11. 令文法G[E]为： E?T|E+T|E-T T?F|T*F|T/F F?(E)|i
证明E+T*F是它的一个句型，指出这个句型的所有短语、直接短语和句柄。 解：可为E+T*F构造一棵语法树（见下图），所以它是句型。 E
E + T
T * F
从语法树中容易看出，E+T*F的短语有：
T*F是句型E+T*F的相对于T的短语，也是相对于规则T?T*F的直接短语。 E+T*F是句型E+T*F的相对于E的短语。 句型E+T*F的句柄（最左直接短语）是T*F。
12. 下述文法G[E]生成的语言是什么？给出该文法的一个句子，该句子至少含五个终结符，构造该句子的语法树。证明：
(1)计算文法G[E]的语言：
n
由于L(T)={(a|b|c)((a|b|c)(*|/))|n>=0}
n
所以L(E)={L(T)(L(T)(+|-))|n>=0}
(2)该文法的一个句子是aab*+,它的语法树是：
a a
(3) 证明：
句柄。
由于下面的语法树可以生成
由于
由于
显然，句型
nnmm
（1）{abab|n,m>=0}
nmmn
（2）{1010|n,m>=0}
t*t
（3）{WaW|W属于{0|a},W表示W的逆} 解：
（1）所求文法为G[S]=({S,A},{a,b},P,S),其中P为： S?AA A?aAb|ε
（2）所求文法为G[S]=({S,A},{0,1},P,S),其中P为： S?1S0|A
A?0A1|ε
*
（3）W属于{0|a}是指W可以的取值为{ε,0,a,00,a0,aa0,00aa,a0a0,…}
t
如果W=aa0a00,则W=00a0aa。
所求文法为G[S]=({S,P,Q},{0,a},P,S),其中P为： S?0S0|aSa|a
nmnm
15. 语言{WaW}和{abcd}是上下文无关的吗？能看出它们反映程序设计语言的什么特性吗？
答：生成语言{WaW}的文法非常简单，如 G[S]: S?WaW
W?aW|bW|ε
可见G[S]是上下文无关的。
nmnm
生成语言{abcd}的文法非常复杂，用上下文无关文法不可能办到，只能用上下文有关
nnmm
文法。这是因为要在ac的中间插入b而同时要在其后面插入d。即a,c相关联，b,d相关联。
这说明对语言的限定越多（特别是语言中的符号前后关联越多），生成它的文法越复杂，甚至于很难找到一个上下文法无关文法。 16．给出生成下述语言的三型文法：
n
(1){a|n>=0}
nm
(2){ab|n,m>=1}
nmk
(3){abc|n,m,k>=0} 解：
(1) 生成的3型文法是：