随机事件与概率(订正)

第一章随机事件与概率

在第一章我们将从随机试验开始,介绍研究随机现象的基本方法。我们将讲述随机试验,随即事件及其运算,概率测度等基本概念。然后给出概率论的公理化结构和概率空间的概念。接着讲解条件概率和事件的独立性,同时介绍全概率公式和贝叶斯公式。

1.1 随机事件及其关系

1.1.1随机试验和随机事件

自然界和人类社会存在两种现象,一是在一定条件下必然产生的现象,如在一个标准大气压下,水加热到100oC,就一定沸腾。这样的现象称为确定性现象;还有一种现象,在一定的条件下,某结果可能发生也可能不发生,或有多种可能的结果,如明天股市走向,是涨还是跌,明天是晴天,阴天还是下雨。这种现象称之为随机现象。

研究随机现象的第一步就是研究随机试验,这是最简单的随机现象。一个试验,如果满足一下三点:

(1) 可以在同样条件下重复进行; (2) 试验的结果多于一个;

(3) 在试验前其结果是不可知的,一般只知道是几个结果中的一个或在某个范围内,

或只知道有某种可能性,而试验进行之后,结果是明确的。

那么我们就称这种试验为随机试验。如抛硬币,其结果可能是正面朝上,也可能是反面朝上,在抛之前我们无法断言是出现正面还是出现反面,但抛了之后就知道是正面还是反面了。所以这是一个随机试验。还有从袋里摸球,假设袋中有三个球,两个红球和一个白球。球的大小,形状和重量都是相同的。在摸球之前,摸出的是红球还是白球是不知道的,但摸出之后,结果是明确的。因此这也是一个随机试验。

随机试验的结果称为样本点,常用?表示。所有可能的结果,即所有可能的样本点构成的集合被称为样本空间,常用?表示。如在抛硬币的试验中,样本点是“正面”和“反

反面?。“正面”,?2?“反面”,?1,?2?。面”,样本空间是集合?正面,若记?1?则???白球。 在摸球的试验中,样本点是“红球”和“白球”,样本空间是??红球,现在再考察复杂一些的随机试验。连续抛三次硬币,观察每次出现正面还是反面。这显然是个随机试验,为试验结果在实验前是未知的,试验进行之后,结果是确定的。这个试验共有8个结果,即8个样本点:

??“正正正”,“正反正”,“正正反”,“正反反”, “反正正”,“反反正”,“反正反”,“反反反”

?1?“正正正”,?2?“正反正”,?3?“正正反”,?4?“正反反”

?5?“反正正”,?6?“反反正”,?7?“反正反”,?8?“反反反”

则样本空间为

??{?1,?2,?,?8}

如果我们关心的是“恰好出现两次正面”这个结果,则满足这样条件的样本点是

?2?“正反正”,?3?“正正反”,?5?“反正正”

显然{?2,?3,?5}是样本空间?的一个子集。如果样本点??{?2,?3,?5},则结果“恰好出现两次正面”发生。反之,若结果“恰好出现两次正面”发生,则必有??{?2,?3,?5}。

在随机试验中,如果我们所关心的结果可以表示为样本点的集合,这个结果就被称为随机事件,简称为事件。事件常用大写的字母A,B,C等表示。因此一个事件A是样本空间?的一个子集。事件A发生,当且仅当??A。但需要说明的是,样本空间的子集未必都能看作是一个事件,这将在后面的讨论中看到。样本点也可以看成是事件,这时可以把样本点看作是单点集,称为基本事件。另外,不管随机实验的结果是什么,都有???,所以样本空间?表示必然事件。又因为对任意???,???,所以空集表示不可能事件。这样,样本空间和空集也被看作是事件。这是两个特殊的事件。一个为必然事件,一个为不可能事件。

在上面的随机试验中,样本空间的样本点的个数是有限的。现在我们考虑样本点的数目是无限的情形。我们考察这样的随机试验,测量在某一时刻落在地面某个面积上的放射性粒子的数目,这是一个随机试验。因为粒子的数目为整数,所以样本空间为???0,1,2,??。这样的样本空间是无穷可数的,或称为是可列的。又如测量每天的最高气温,这也是一个随机试验。最高气温可以取实数,所以样本点可以是???,???上的点,样本空间为

?????,???,这个样本空间是无穷不可数的。

1.1.2随机事件的运算

我们从随机现象出发提出了随机试验的概念,进而引进了样本点和样本空间的概念,又由样本点的集合出发定义了随机事件。现在我们将考察随机事件的运算和它们之间的关系。在以后的讨论中,我们用同一个符号,如A同时表示一个随机事件和它所对应的样本空间的子集。常见的随即事件的关系和运算有如下几种。 (1)随机事件的包含关系

如果事件A的样本点都是事件B的样本点,则称事件B包含事件A,记作A?B。若

??A,则??B,所以A?B的概率论意义是,A发生必然导致B发生。考察前面连续

抛三次硬币的例子。记A?,B?,“恰好连续出现两次正面”“恰好出现两次正面”正正反,反正正?,所以A?B。如果事件则A??正正反,反正正?,B??正反正,“恰好连续出现两次正面”发生,那么事件“恰好出现两次正面”也发生。特别地,如果

A?B,又有A?B,则称事件A等于事件B,记为A?B。

(2)随机事件的对立事件

设A为一个事件,样本空间?中的所有不包含在A中的样本点组成的事件称为A的逆事件或对立事件,记作A,即A???;??A?。这时,若??A,必有??A,若??A,必有??A,所以,若A发生,则必然A不发生,若A发生,则必然A不发生。在抛三次

“恰好出现两次正面”硬币的试验中,记A?,则

A??正反正,正正反,反正正?

A??正正正,反正反,正反反,反反正,反反反?

(3)随机事件的交

同时属于事件A和B的样本点构成的事件称为A和B的交,记为A?B,即

A?B???;??A,??B?。若??A?B,则??A,??B,故若A?B发生,则A和B都发生。换言之,A?B表示A和B同时发生。为简洁起见A?B也常记为AB。

(4)随机时间的并

所有属于事件A和B的样本点的全体构成的事件称为A和B的并,记为A?B,即

A?B?{?;??A或??B}。若??A?B,则??A,或??B,所以事件A?B发

生,则有A发生或B发生或A和B都发生。换言之,事件A?B表示A和B中至少有一个发生。

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