第一章随机事件与概率
在第一章我们将从随机试验开始，介绍研究随机现象的基本方法。我们将讲述随机试验，随即事件及其运算，概率测度等基本概念。然后给出概率论的公理化结构和概率空间的概念。接着讲解条件概率和事件的独立性，同时介绍全概率公式和贝叶斯公式。
1.1 随机事件及其关系
1.1.1随机试验和随机事件
自然界和人类社会存在两种现象，一是在一定条件下必然产生的现象，如在一个标准大气压下，水加热到100oC，就一定沸腾。这样的现象称为确定性现象；还有一种现象，在一定的条件下，某结果可能发生也可能不发生，或有多种可能的结果，如明天股市走向，是涨还是跌，明天是晴天，阴天还是下雨。这种现象称之为随机现象。
研究随机现象的第一步就是研究随机试验，这是最简单的随机现象。一个试验，如果满足一下三点：
（1） 可以在同样条件下重复进行； （2） 试验的结果多于一个；
（3） 在试验前其结果是不可知的，一般只知道是几个结果中的一个或在某个范围内，
或只知道有某种可能性，而试验进行之后，结果是明确的。
那么我们就称这种试验为随机试验。如抛硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反面朝上，在抛之前我们无法断言是出现正面还是出现反面，但抛了之后就知道是正面还是反面了。所以这是一个随机试验。还有从袋里摸球，假设袋中有三个球，两个红球和一个白球。球的大小，形状和重量都是相同的。在摸球之前，摸出的是红球还是白球是不知道的，但摸出之后，结果是明确的。因此这也是一个随机试验。
随机试验的结果称为样本点，常用?表示。所有可能的结果，即所有可能的样本点构成的集合被称为样本空间，常用?表示。如在抛硬币的试验中，样本点是“正面”和“反
反面?。“正面”，?2?“反面”，?1,?2?。面”，样本空间是集合?正面，若记?1?则???白球。 在摸球的试验中，样本点是“红球”和“白球”，样本空间是??红球，现在再考察复杂一些的随机试验。连续抛三次硬币，观察每次出现正面还是反面。这显然是个随机试验，为试验结果在实验前是未知的，试验进行之后，结果是确定的。这个试验共有8个结果，即8个样本点：
??“正正正”，“正反正”，“正正反”，“正反反”， “反正正”，“反反正”，“反正反”，“反反反”
记
?1?“正正正”，?2?“正反正”，?3?“正正反”，?4?“正反反”
?5?“反正正”，?6?“反反正”，?7?“反正反”，?8?“反反反”
则样本空间为
??{?1,?2,?,?8}
如果我们关心的是“恰好出现两次正面”这个结果，则满足这样条件的样本点是
?2?“正反正”，?3?“正正反”，?5?“反正正”
显然{?2,?3,?5}是样本空间?的一个子集。如果样本点??{?2,?3,?5}，则结果“恰好出现两次正面”发生。反之，若结果“恰好出现两次正面”发生，则必有??{?2,?3,?5}。
在随机试验中，如果我们所关心的结果可以表示为样本点的集合，这个结果就被称为随机事件，简称为事件。事件常用大写的字母A,B,C等表示。因此一个事件A是样本空间?的一个子集。事件A发生，当且仅当??A。但需要说明的是，样本空间的子集未必都能看作是一个事件，这将在后面的讨论中看到。样本点也可以看成是事件，这时可以把样本点看作是单点集，称为基本事件。另外，不管随机实验的结果是什么，都有???，所以样本空间?表示必然事件。又因为对任意???,???，所以空集表示不可能事件。这样，样本空间和空集也被看作是事件。这是两个特殊的事件。一个为必然事件，一个为不可能事件。
在上面的随机试验中，样本空间的样本点的个数是有限的。现在我们考虑样本点的数目是无限的情形。我们考察这样的随机试验，测量在某一时刻落在地面某个面积上的放射性粒子的数目，这是一个随机试验。因为粒子的数目为整数，所以样本空间为???0,1,2,??。这样的样本空间是无穷可数的，或称为是可列的。又如测量每天的最高气温，这也是一个随机试验。最高气温可以取实数，所以样本点可以是???,???上的点，样本空间为
?????,???，这个样本空间是无穷不可数的。
1.1.2随机事件的运算
我们从随机现象出发提出了随机试验的概念，进而引进了样本点和样本空间的概念，又由样本点的集合出发定义了随机事件。现在我们将考察随机事件的运算和它们之间的关系。在以后的讨论中，我们用同一个符号，如A同时表示一个随机事件和它所对应的样本空间的子集。常见的随即事件的关系和运算有如下几种。 （1）随机事件的包含关系
如果事件A的样本点都是事件B的样本点，则称事件B包含事件A，记作A?B。若
??A，则??B，所以A?B的概率论意义是，A发生必然导致B发生。考察前面连续
抛三次硬币的例子。记A?，B?，“恰好连续出现两次正面”“恰好出现两次正面”正正反，反正正?，所以A?B。如果事件则A??正正反，反正正?，B??正反正，“恰好连续出现两次正面”发生，那么事件“恰好出现两次正面”也发生。特别地，如果
A?B，又有A?B，则称事件A等于事件B，记为A?B。
（2）随机事件的对立事件
设A为一个事件，样本空间?中的所有不包含在A中的样本点组成的事件称为A的逆事件或对立事件，记作A，即A???;??A?。这时，若??A，必有??A，若??A，必有??A，所以，若A发生，则必然A不发生，若A发生，则必然A不发生。在抛三次
“恰好出现两次正面”硬币的试验中，记A?，则
A??正反正，正正反，反正正?
A??正正正，反正反，正反反，反反正，反反反?
（3）随机事件的交
同时属于事件A和B的样本点构成的事件称为A和B的交，记为A?B，即
A?B???;??A,??B?。若??A?B，则??A,??B，故若A?B发生，则A和B都发生。换言之，A?B表示A和B同时发生。为简洁起见A?B也常记为AB。
（4）随机时间的并
所有属于事件A和B的样本点的全体构成的事件称为A和B的并，记为A?B，即
A?B?{?;??A或??B}。若??A?B，则??A，或??B，所以事件A?B发
生，则有A发生或B发生或A和B都发生。换言之，事件A?B表示A和B中至少有一个发生。