第1讲 变化率与导数、导数的计算
一、知识梳理 1．导数的概念
(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数 称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 lim
Δx→0
f（x0＋Δx）－f（x0）Δy＝lim为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，Δx→0ΔxΔxΔyf（x0＋Δx）－f（x0）
＝lim . Δx→0ΔxΔx→0Δx即f′(x0)＝lim
(2)导数的几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数 称函数f′(x)＝_lim_
Δx→0
f（x＋Δx）－f（x）
为f(x)的导函数．
Δx2．基本初等函数的导数公式
原函数 导函数 y＝c(c为常数) y＝xα(α为实数) y＝ax (a>0且a≠1) y′＝0 y′＝αxα－1 y′＝axln a 特别地(e)′＝e xxy＝logax (x>0，a>0，且a≠1) y′＝ xln a1特别地(ln x)′＝ 1x 1
y＝sin x y＝cos x y＝tan x y＝cot x 3.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)?y′＝cos__x y′＝－sin__x y′＝12 cosx12 sinxy′＝－?f（x）?′＝f′（x）g（x）－f（x）g′（x）(g(x)≠0)．
?2[g（x）]?g（x）?
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝
yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
常用结论
1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．
3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．
二、教材衍化
1．函数y＝xcos x－sin x的导数为( ) A．xsin x B．－xsin x C．xcos x
D．－xcos x
解析：选B.y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin
x.
2．曲线y＝1－
2
在点(－1，－1)处的切线方程为________． x＋2
2
解析：因为y′＝2，所以y′|x＝－1＝2.
（x＋2）故所求切线方程为2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0
32
3．有一机器人的运动方程为s＝t＋(t是时间，s是位移)，则该机器人在t＝2时的
t瞬时速度为________．
332
解析：因为s＝t＋，所以s′＝2t－2，
tt 2
313
所以s′|t＝2＝4－＝.
4413答案：
4
一、思考辨析
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率． ( ) (2)求f′(x0)时，可先求f(x0)，再求f′(x0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线． ( )
(5)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线与过点P(x0，y0)的切线相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 二、易错纠偏 常见误区
|Ｋ(1)求导时不能掌握复合函数的求导法则致误；
(2)不会用方程法解导数求值．
π??1．已知函数f(x)＝sin?2x＋?，则f′(x)＝________．
3??
π?π??π?π????解析：f′(x)＝[sin?2x＋?]′＝cos?2x＋?·?2x＋?′＝2cos?2x＋?. 3?3??3?3????π??答案：2cos?2x＋?
3??
?π??π?2．设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′??sin x＋cos x，则f′??＝________．
?2??4??π?解析：因为f(x)＝f′??sin x＋cos x，
?2??π?所以f′(x)＝f′??cos x－sin x， ?2?
π?π??π?π
所以f′??＝f′??cos－sin，
22?2??2?
?π?即f′??＝－1，所以f(x)＝－sin x＋cos x，
?2?
f′(x)＝－cos x－sin x.
ππ?π?故f′??＝－cos－sin＝－2. 44?4?
3