3．参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化
(1)将曲线的参数方程化为普通方程，有利于识别曲线类型．曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．
(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
把曲线的普通方程化为参数方程 根据所给条件，把曲线的普通方程化为参数方程． (1)
2
x－
3
2
＋
y－
5
2
＝1，x＝3cos θ＋1.(θ为参数) (2)x－y＋x－1＝0，x＝t＋1.(t为参数) (1)将x＝3cos θ＋1代入
x－
3
2
＋y－52＝1，得y＝2＋5sin θ.
?x＝3cos θ＋1，∴?
?y＝5sin θ＋2
2
(θ为参数)．这就是所求的参数方程．
2
2
2
(2)将x＝t＋1代入x－y＋x－1＝0，得y＝x＋x－1＝(t＋1)＋t＋1－1＝t＋3t＋1， ∴?
??x＝t＋1，
2
??y＝t＋3t＋1
(t为参数)．这就是所求的参数方程．
普通方程化为参数方程时，①选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与普通方程等价．②参数的选取不同，得到的参数方程是不同的．如本例(2)，若
??x＝tan θ，令x＝tan θ(θ为参数)，则参数方程为?2
?y＝tanθ＋tan θ－1?
(θ为参数)．
1．求xy＝1满足下列条件的参数方程：
kπ??(1)x＝t(t≠0)；(2)x＝tan θ?θ≠，k∈Z?. 2??
解：(1)将x＝t代入xy＝1，得ty＝1，
?1
∵t≠0，∴y＝，∴?
t?x＝t，
y＝??t1
(t为参数，t≠0)．
1
(2)将x＝tan θ代入xy＝1，得y＝. tan θ
x＝tan θ，??∴?1
y＝??tan θ
?θ为参数，θ≠kπ，k∈Z?.
??2??
将参数方程化为普通方程 将下列参数方程化为普通方程： t＋1x＝??t－1，(1)?2ty＝??t－1；3
x－??x＝5cos θ，(t为参数)(2)??y＝4sin θ－1?
(θ为参数)． (1)可采用代入法，由x＝
t＋1
解出t代入y表达式． t－1
(2)采用三角恒等变换求解． (1)由x＝代入y＝得y＝t＋1x＋1
，得t＝. t－1x－1
2t化简， t－13x＋223x＋1(x≠1)．
??x＝5cos θ，(2)由??y＝4sin θ－1? xcos θ＝， ①??5得?y＋1
sin θ＝. ②??4
2
①＋②得＋2522, x2y＋16＝1.
消去参数的方法一般有三种
(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数；
(3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．
2
1??x＝t＋，t2．方程?
??y＝2A．一条直线
(t为参数)表示的曲线是( )
B．两条射线 C．一条线段 D．抛物线的一部
分
解析：选B t＞0时，x＝t＋1
t≥2.
当t＜0时，x＝t＋1t＝－???－t＋1?－t??≤－2. 即曲线方程为y＝2(|x|≥2)，表示两条射线．
?)在平面直角坐标系中，曲线C：?x＝2＋2
?
2
t，3．(湖南高考??y＝1＋2
2t
通方程为________．
解析：由参数方程直接消去参数t，得x－y＝2－1， 即x－y－1＝0. 答案：x－y－1＝0
课时跟踪检测(九)
一、选择题
2
1．将参数方程???x＝2＋sinθ，
?2
(θ为参数)化为普通方程为( ?
y＝sinθ
A．y＝x－2 B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1) 解析：选C 代入法，将方程化为y＝x－2，但x∈，
y∈，故选C.
2
2．参数方程???x＝cosθ，
? )
?y＝sin2
θ
(θ为参数)表示的曲线是( A．直线 B．圆 C．线段 D．射线 解析：选C x＝cos2
θ∈，y＝sin2
θ∈， ∴x＋y＝1，(x∈)为线段．
3．下列参数方程中，与方程y2
＝x表示同一曲线的是( )
(t 为参数)的普
)
3