2017-2018学年高中数学 第二讲 参数方程 一 曲线的参数方程 3 参数方程和普通方程的互化学

3.参数方程和普通方程的互化

参数方程和普通方程的互化

(1)将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线类型.曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.

(2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y的取值范围保持一致.

把曲线的普通方程化为参数方程 根据所给条件,把曲线的普通方程化为参数方程. (1)

2

x-

3

2

y-

5

2

=1,x=3cos θ+1.(θ为参数) (2)x-y+x-1=0,x=t+1.(t为参数) (1)将x=3cos θ+1代入

x-

3

2

+y-52=1,得y=2+5sin θ.

?x=3cos θ+1,∴?

?y=5sin θ+2

2

(θ为参数).这就是所求的参数方程.

2

2

2

(2)将x=t+1代入x-y+x-1=0,得y=x+x-1=(t+1)+t+1-1=t+3t+1, ∴?

??x=t+1,

2

??y=t+3t+1

(t为参数).这就是所求的参数方程.

普通方程化为参数方程时,①选取参数后,要特别注意参数的取值范围,它将决定参数方程是否与普通方程等价.②参数的选取不同,得到的参数方程是不同的.如本例(2),若

??x=tan θ,令x=tan θ(θ为参数),则参数方程为?2

?y=tanθ+tan θ-1?

(θ为参数).

1.求xy=1满足下列条件的参数方程:

kπ??(1)x=t(t≠0);(2)x=tan θ?θ≠,k∈Z?. 2??

解:(1)将x=t代入xy=1,得ty=1,

?1

∵t≠0,∴y=,∴?

t?x=t,

y=??t1

(t为参数,t≠0).

1

(2)将x=tan θ代入xy=1,得y=. tan θ

x=tan θ,??∴?1

y=??tan θ

?θ为参数,θ≠kπ,k∈Z?.

??2??

将参数方程化为普通方程 将下列参数方程化为普通方程: t+1x=??t-1,(1)?2ty=??t-1;3

x-??x=5cos θ,(t为参数)(2)??y=4sin θ-1?

(θ为参数). (1)可采用代入法,由x=

t+1

解出t代入y表达式. t-1

(2)采用三角恒等变换求解. (1)由x=代入y=得y=t+1x+1

,得t=. t-1x-1

2t化简, t-13x+223x+1(x≠1).

??x=5cos θ,(2)由??y=4sin θ-1? xcos θ=, ①??5得?y+1

sin θ=. ②??4

2

①+②得+2522, x2y+16=1.

消去参数的方法一般有三种

(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式,然后代入消去参数; (2)利用三角恒等式消去参数;

(3)根据参数方程本身的结构特征,选用一些灵活的方法从整体上消去参数. 将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小,必须根据参数的取值范围,确定函数f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范围.

2

1??x=t+,t2.方程?

??y=2A.一条直线

(t为参数)表示的曲线是( )

B.两条射线 C.一条线段 D.抛物线的一部

解析:选B t>0时,x=t+1

t≥2.

当t<0时,x=t+1t=-???-t+1?-t??≤-2. 即曲线方程为y=2(|x|≥2),表示两条射线.

?)在平面直角坐标系中,曲线C:?x=2+2

?

2

t,3.(湖南高考??y=1+2

2t

通方程为________.

解析:由参数方程直接消去参数t,得x-y=2-1, 即x-y-1=0. 答案:x-y-1=0

课时跟踪检测(九)

一、选择题

2

1.将参数方程???x=2+sinθ,

?2

(θ为参数)化为普通方程为( ?

y=sinθ

A.y=x-2 B.y=x+2

C.y=x-2(2≤x≤3) D.y=x+2(0≤y≤1) 解析:选C 代入法,将方程化为y=x-2,但x∈,

y∈,故选C.

2

2.参数方程???x=cosθ,

? )

?y=sin2

θ

(θ为参数)表示的曲线是( A.直线 B.圆 C.线段 D.射线 解析:选C x=cos2

θ∈,y=sin2

θ∈, ∴x+y=1,(x∈)为线段.

3.下列参数方程中,与方程y2

=x表示同一曲线的是( )

(t 为参数)的普

)

3

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