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卓越优优学科教师讲义
学员姓名： 科目：数学 学科教师：陈变领 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置. 先排末位共有C3 然后排首位共有C4 最后排其它位置共有A4 113 由分步计数原理得C4C3A4?288 113二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，522同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有A5A2A2?480种不同的排法 甲乙丙丁 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有A5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首44尾两个空位共有种A6不同的方法,节目的不同顺序共有A55A6 种 5四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数3除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：A7/A73 (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A7种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，4则共有A7种方法。 4 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有7种不同的排法 六.环排问题线排策略 例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法? 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A44并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！ CDB6EFGHAABCDEFGHA一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1mAn n七.多排问题直排策略 例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法 1尊重版权 珍惜原创
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解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有A24种,再排后4个位置上的215特殊元素丙有A14种,其余的5人在5个位置上任意排列有A5种,则共有A4A4A5 5 八.排列组合混合问题先选后排策略 例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法. 解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有C5种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的24盒内有A44种方法，根据分步计数原理装球的方法共有C5A4 2十九.平均分组问题除法策略 例9. 6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？ 2222223 解: 分三步取书得C6种分法。 C4C2种方法,但这里出现重复计数的现象,C6C4C2/A3 n 平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以An(n为均分的 组数)避免重复计数。 练习题： 5421 将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？（C13） C84C4/A22.10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的 分组方法 （1540） 3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安 2222排2名，则不同的安排方案种数为（C4C2A6/A2?90） 例1：把10人平均分成2组，每组5人，问共有多少种不同的分法？ 5555解1：先确定第1组，有C10种方法，再确定第二组，有C5种方法。这样确定两组共有c10〃c555C10·C5种方法。因为是等分组，第一、二组次序可交换，同一种分法被重复了P次，所以共有种2P222分法 例2：把10人分成3组，一组2人，一组3人，一组5人，问有多少种不同的分法？ 2解2：按人数的多少，可把各组划分为第一组，第二组，第三组。先确定第1组，有c10种；再35235确定第二组，有c8种法；最后确定第三组，有c5种，共有c10〃c8〃c5种。 例3：把10分成3组，一组2人，其余两组各4人，问有多少种不同的分法？ 424解3：先确定第1组，有c10种方法;再确定第二组，有c8种方法;最后确定第三组，有c4种方24C10·C84·C4法。因第二、三组次序可交换，故同一分法被重复了P次，所以共有 2P2按序分组的总数 (1).对于等分组问题：分法数= 等分组数的阶乘22(2).对于不等分组问题：分法数=按序分组的总数 按序分组的总数(3).对于混合分组问题：分法数= 相等组数的阶乘12．某车间甲组10名工人，其中4名女工人，乙组5名工人，其中3名女工人，现采用分层抽样方法，从甲乙两组中共抽取3名工人进行技术考核 （1） 求从甲乙两组各抽取的人数 2尊重版权 珍惜原创
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（2） 求从甲组抽取的2人中恰有1名女工的概率 （3） 用X表示抽取的3名工人中男工人数，求X的分布列及数学期望 11C6C48. 解：（1）甲组2人，乙组1人 （2） ?215C10（3）X可能取值为0，1，2，3 2111121C4C3C6C4C3?C4C2282 P(X?1)? P(X?0)?21??2175C10C525C10C51112121C6C4C2?C6C331C6C22 分布列为 P(X?2)??P(X?3)??212175C10C5C10C515X 0 P 2 251 2 3 28 7531 752 15EX?8 513.袋中有同样的球5个，其中3个红色，2个黄色，现从中随机且不返回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量?为此时已摸球的次数，求：. (1)随机变量?的概率分布； (2)随机变量?的数学期望与方差. 111C2C3C23解答：(1)随机变量?可取的值为2,3,4,P(??2)??; 11C5C45111P22C3?P32C2P33C231P(??3)??;P(??4)??;1111111C5C4C310C5C4C3C210 得随机变量?x P(??x) 2 3 53 3 104 1 10的概率分布律为： 3315?3??4??； 510102319232?(4?2.5)2?? 随机变量?的方差为：D??(2?2.5)??(3?2.5)? 5101020(2)随机变量?的数学期望为：E??2?一、选择题 1．从2009名学生中选取50名学生参加数学竞赛，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从2009人中剔除9人，剩下的2000人再按系统抽样的方法抽取50人，则在2009人中，每人入选的概率（） （A）不全相等 501（B）均不相等 （C）都相等，且为2009 （D）都相等，且为40 2.某班选派6人参加两项公益活动，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有 （ ） A.50种 B.70种 C.35种 D.55种 3尊重版权 珍惜原创