页眉 第二章
2-1试求下图所示电路的微分方程和传递函数。 解：（a）根据电路定律，列写出方程组：
diL?u0?uidt1u0?R?iR??icdt
CiL?iR?iCL?消除中间变量可得微分方程：
d2u0Ldu0L?C?2???u0?ui
dtRdt对上式两边取拉氏变换得：
L?U0(s)?s?U0(s)?Ui(s) RU(s)R1传递函数为G(s)?0 ??2LUi(s)R?Ls?LCRs1?s?LCs2RL?C?U0(s)?s2?（b）根据电路定律，列写出方程组：
ui?i(R1?R2)?u?ui?i0R11idtC?
消除中间变量可得微分方程：
ui?R1?R2Ru0?1?idt R1R2C对上式两边取拉氏变换得：
Ui(s)(R2Cs?1)?U0(s)(R1Cs?R2Cs?1)
传递函数为G(s)?U0(s)1?R2Cs? Ui(s)1?R1Cs?R2Cs
2-3求下图所示运算放大器构成的电路的传递函数。
解：（a）由图（a），利用等效复数阻抗的方法得
G(s)?Uo(s)??Ui(s)R2?1Cs??R2Cs?1 R1R1Cs?1 （b）由图（b），利用等效复数阻抗的方法得
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页眉 1Uo(s)C2sR1R2C1C2s2?(R1C1?R2C2)s?1G(s)?????
1Ui(s)R1C2sR1C1s1R1?C1sR2?2-5试简化下图中各系统结构图，并求传递函数C(s)R(s)。
2-6试求下图所示系统的传递函数C1(s)R1(s)，C2(s)R1(s)，C1(s)R2(s)及
C2(s)R2(s)。
解：将方框图转化为信号流图如下
该系统有1个回路，其增益为：L?G1G2G3G4 则系统的特征式为：??1?L?1?G1G2G3G4 从R1到C1的前向通路有1条，其通路增益为：P1?G1 从R1到C2的前向通路有1条，其通路增益为：P2??G1G2G4 从R2到C1的前向通路有1条，其通路增益为：P3??G1G2G3 从R2到C2的前向通路有1条，其通路增益为：P4?G2 回路与前向通路均有接触，则：?1?1 根据梅森公式，系统的传递函数为：
C1(s)1G1(s)?P?? 11R1(s)?1?G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)C2(s)1G1(s)G2(s)G4(s)?P2?1?? R1(s)?1?G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)G1(s)G2(s)G3(s)C1(s)1?P3?1?? R2(s)?1?G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)C2(s)1G2(s)?P4?1? R2(s)?1?G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)2-7试绘制下图所示系统的信号流图，并用梅森公式求系统的传递函数C(s)R(s)。
解：（a）信号流图如下
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页眉 由图可知：该系统有1条前向通路，其通路增益为P1?G1(s)G2(s)
有2个回路，各回路的增益为L1??G1(s)H1(s), L2??G2(s)H2(s)
其中，有1对不接触回路L1和L2，
其增益之积为L1L2?G1(s)G2(s)H1(s)H2(s) ，系统的特征式为
??1?(L1?L2)?L1L2?1?G1(s)H1(s)?G2(s)H2(s)?G1(s)G2(s)H1(s)H2(s)
所有回路与前向通路均有接触，则?1?1 根据梅森公式，系统的传递函数为
G1(s)G2(s)C(s)1?P?? 11R(s)?1?G1(s)H1(s)?G2(s)H2(s)?G1(s)G2(s)H1(s)H2(s)（b）信号流图如下
由图可知：该系统有1条前向通路，其通路增益为P1?G1(s)G2(s)
有2个回路，各回路的增益为L1??G1(s)H1(s), L2??G2(s)H2(s)
其中没有对不接触回路，则系统的特征式为
??1?(L1?L2)?1?G1(s)H1(s)?G2(s)H2(s)
所有回路与前向通路均有接触，则?1?1 根据梅森公式，系统的传递函数为
G1(s)G2(s)C(s)1?P?? 11R(s)?1?G1(s)H1(s)?G2(s)H2(s)2-8试绘制下图所示系统的信号流图，并用梅森公式求系统的传递函数C(s)R(s)。 解：信号流图如下
由图可知，该系统有2条前向通路，其通路增益为
P1?G1(s)G2(s)G3(s) ， P2?G3(s)G4(s)
有3个回路，各回路的增益为
L1??G1(s)H1(s), L2??G3(s)H2(s) ，L3??G1(s)G2(s)G3(s)H1(s)H2(s)
其中，有1对不接触回路L1和L2，
其增益之积为L1L2?G1(s)G3(s)H1(s)H2(s) ，系统的特征式为
??1?(L1?L2?L3)?L1L2?1?G1(s)H1(s)?G3(s)H2(s)?G1(s)G2(s)G3(s)H1(s)H2(s)?G1(s)G3(s)H1(s) 回路L与第2条前向通路不接触，则?2?1?G1(s)H1(s)
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页眉 所有回路与第一条前向通路均有接触，则?1?1 根据梅森公式，系统的传递函数为
G1(s)G2(s)G3(s)?G3(s)G4(s)?G1(s)G3(s)G4(s)H1(s)C(s)?R(s)1?G1(s)H1(s)?G3(s)H2(s)?G1(s)G2(s)G3(s)H1(s)H2(s)?G1(s)G3(s)H1(s)H2(s)
2-9已知系统结构图如下所示，试写出系统在给定R(S)及扰动N（s）同时作用下输出C(s)的表达式。
解：R(S)作用下系统的结构 R(S)作用下的闭环传递函数为：
?cr(s)?G1(s)G2(s)?G1(s)G3(s)?G1(s)G2(s)G3(s)H(s)C(s)?R(s)1?G1(s)G2(s)?G1(s)G3(s)?G1(s)G2(s)G3(s)H(s)?G2(s)H(s) N(S)作用下系统的结构
N(S)作用下的闭环传递函数为：
?cn(s)?C(s)1?G2(s)H(s)?G1(s)G2(s)G4(s)?G1(s)G3(s)G4(s)?G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H(s)?N(s)1?G1(s)G2(s)?G1(s)G3(s)?G1(s)G2(s)G3(s)H(s)?G2(s)H(s)则输出C(s)的表达式为：
C(s)??cr(s)R(s)??cn(s)N(s)??G1(s)G2(s)?G1(s)G3(s)?G1(s)G2(s)G3(s)H(s)R(s)1?G1(s)G2(s)?G1(s)G3(s)?G1(s)G2(s)G3(s)H(s)?G2(s)H(s)1?G2(s)H(s)?G1(s)G2(s)G4(s)?G1(s)G3(s)G4(s)?G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H(s)N(s)
1?G1(s)G2(s)?G1(s)G3(s)?G1(s)G2(s)G3(s)H(s)?G2(s)H(s)
2-10系统的信号流图如下图所示，试求系统的传递函数C(s)R(s)。 解：（a）该系统有2条前向通路，其增益为 p1?abcd,p2?de 有4个回路，各回路的增益为 l1?af,l2?bg,l3?ch,l4?ehgf
其中，有1对互不接触回路L1和L3 其乘积为l1l3?achf 则系统的特征式为??1?af?bg?ch?ehgf?achf 所有回路与第1条前向通路均无接触，则?1?1 第2个回路与第2条前向通路无接触，则?2?1?bg 根据梅森公式，系统的传递函数为
C(s)abcd?de?bgde? R(s)1?af?bg?ch?ehgf?achf4 / 5
页眉 （b）该系统有4条前向通路，其增益为 p1?G1G2G3G4G5G6
p2?G1G3G4G5G6 , p3?G1G8G6 , p4??G6G7G8H1
有9个回路，各增益为 l1??G2H1,l2??G4H2,l3??G6H3,l4??G3G4G5H4
l5?G8H1H4,l6??G1G6G8H5,l7?G6G7G8H1H5,l8??G1G2G3G4G5G6H5,l9??G3G4G5G6G7H5则系统的特征式为 ??1?G2H1?G4H2?G6H3?G3G4G5H4?G1G6G8H5?
G3G4G5G6G7H5?G1G2G3G4G5G6H4?G8H1H4?G6G7G8H1H5?G2G4H1H2?
G2G6H1H3?G4G6H2H3?G4G8H1H2H4?G1G4G6G8H2H5?G4G6G7G8H1H2H5?G2G4G6H1H2H3
所有回路与第1条前向通路均无接触，则?1?1 所有回路与第2条前向通路均无接触，则?2?1
第2个回路与第3和4条前向通路均有接触则?3?1?G4H2,?4?1?G4H2 根据梅森公式，系统的传递函数为
C(s)1?(G1G2G3G4G5G6?G3G4G5G6G7?G1G6G8?G1G4G6G8H2?G6G7G8H1?G4G6G7G8H1H2)R(s)?
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