第18讲 相似三角形
命题点 相似三角形的性质与判定
1．(2017·河北T7·3分)若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(D)
A．增加了10% B．减少了10% C．增加了(1＋10%) D．没有改变
2．(2011·河北T9·3分)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，BC＝6，D，E 分别在 AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处．若A′为CE的中点，则折痕DE的长为(B)
1A. 2
B．2 C．3 D．4
3．(2014·河北T13·3分)在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，
得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
图1 图2 对于两人的观点，下列说法正确的是(A) A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
4．(2016·河北T15·2分)如图，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)
重难点 相似三角形的性质与判定
在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，以D为顶点作∠MDN＝∠B.
(1)如图1，当射线DN经过点A时，DM交边AC于点E，不添加辅助线，写出图中所有与△ADE相似的三角形； (2)如图2，将∠MDN绕点D沿逆时针方向旋转，DM，DN分别交线段AC，AB于点E，F(点E与点A不重合)，不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论；
1
(3)在图2中，若AB＝AC＝10，BC＝12，当S△DEF＝S△ABC时，求线段EF的长．
4
【思路点拨】(1)由题意得AD⊥BD，DE⊥AC，可考虑从两角对应相等的两个三角形相似来探究；(2)依据三角形内角和定理及平角定义，结合等式的性质，得∠BFD＝∠CDE，又由∠B＝∠C，可得△BDF∽△CED；由相似三角形的性质得
BDDFCDDF1
＝，进而有＝，从而△CED∽△DEF；(3)首先利用△DEF的面积等于△ABC的面积的，求出点D到AB的CEEDCEED4
距离，进而利用S△DEF的值求出EF即可． 【自主解答】
解：(1)图1中与△ADE相似的有△ABD，△ACD，△DCE.
(2)△BDF∽△CED∽△DEF.
证明：∵∠B＋∠BDF＋∠BFD＝180°，∠EDF＋∠BDF＋∠CDE＝180°， 又∵∠EDF＝∠B，∴∠BFD＝∠CDE.
BDDF
由AB＝AC，得∠B＝∠C，∴△BDF∽△CED.∴＝. CEEDCDDF
∵BD＝CD，∴＝.
CEED
又∵∠C＝∠EDF，∴△BDF∽△CED∽△DEF.
(3)连接AD，过点D作DG⊥EF，DH⊥BF，垂足分别为G，H. 1
∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，BD＝BC＝6.
2在Rt△ABD中，AD＝AB－BD，∴AD＝8. 11
∴S△ABC＝BC·AD＝48.S△DEF＝S△ABC＝12.
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又∵AD·BD＝AB·DH，∴DH＝4.8.
22∵△BDF∽△DEF，∴∠DFB＝∠EFD. ∵DG⊥EF，DH⊥BF，∴DH＝DG＝4.8. 1
∵S△DEF＝EF·DG＝12，∴EF＝5.
2
【变式训练1】(2018·杭州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.
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2
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长． 解：(1)证明：∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC. ∴△BDE∽△CAD.
(2)∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC. 在Rt△ADB中，AD＝AB－BD＝12， 1160∵AD·BD＝AB·DE，∴DE＝. 2213
方法指导基本图形
2
2
(1)斜边高图形 有以下基本结论：
①∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC； ②△ADB∽△CDA∽△CAB. (2)一线三等角
有以下基本结论：
①∠B＝∠C，∠BDE＝∠DFC； ②△BDE∽△CFD.
特殊地：若点D为BC中点，则有△BDE∽△CFD∽△DFE.
模型拓展“一线三等角”问题一般以等腰三角形、等边三角形、四边形、矩形、正方形为背景：
图中相同标识符号的角相等，熟悉这些模型对解决三角形全等和相似的问题有很大帮助． 【变式训练2】【分类讨论思想】在正方形ABCD中，AB＝4，点P，Q分别在直线CB与射线DC上(点P不与点C，点B重合)，且保持∠APQ＝90°，CQ＝1，求线段BP的长．
解：分三种情况：设BP＝x.
①当P在线段BC上时，如图1，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠B＝∠C＝90°. ∴∠BAP＋∠APB＝90°.
∵∠APQ＝90°，∴∠APB＋∠CPQ＝90°.