简析初中数学的转化与化归思想

专题精讲:

数学思想是数学内容的进一步提炼和概括,是对数学内容的种本质认识,数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段,数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力.抓住数学思想方法,善于迅速调用数学思想方法,更是提高解题能力根本之所在.因此,在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法,培养用数学思想方法解决问题的意识.

初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等.本专题专门复习化归思想.所谓化归思想就是将一种问题转化为另一种问题,从而降低问题的复杂度。化归思想的本质在于所有问题的本质都是一样的,在不同的情况下会变成另一种题目,通过转化或化归思想将复杂的问题转化到简单的问题域中,从而得出问题的答案。常见的转化有:函数到方程的转化;几何域到代数域的转化;分式到整数的转化;具体问题到一般问题的转化;换元等。具体的应用可以参考下面的例题。

8

【例1】(嘉峪关,8 分)如图3-1-1,反比例函数y=-与一次x函数y=-x+2的图象交于A、B两点. (1)求 A、B两点的坐标;

8??x1?4?x2??2?y??;? 解:⑴解方程组? 得 x?y??2y?4?1?2??y??x?2 所以A、B两点的坐标分别为A(-2,4)B(4,-2

点拨:两个函数的图象相交,说明交点处的横坐标和纵坐标,既适合于第一个函数,又适合于第二个函数,所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题,从而求出交点坐标.

【例2】(自贡,5分)解方程:2(x?1)2?5(x?1)?2?0 解:令y= x—1,则2 y—5 y +2=0. 11

所以y1=2或y2=,即x—1=2或x—1=.

2233

所以x=3或x= 故原方程的解为x=3或x= 22

2

点拨:很显然,此为解关于x-1的一元二次方程.如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦,所以可根据方程的特点,含未知项的都是含有(x—1)所以可将设为y,这样原方程就可以利用换元法转化为含有y的一元二次方程,问题就简单化了。

【例3】已知x?x?1?0,求x?2x?2009的值。

2x?x?1?0 解法一:∵

232 ∴x?1?x

∴x?2x?2009=x(1-x)+2(1-x)+2009 =?x?x?2011

2?(x?x?1)?2010 =

2322 =2010

22x(x?x?1)?(x?x?1)?1?2009 解法二:原式=

=2010

点拨:有些数学问题结构复杂,若用常规手法过程繁琐,对这个问题,可以从其结构入手,将结构进行转化,另辟解题途径。此题通过配方法或利用降次来转化,可使问题得以解决。

【例4】如图,已知两个半圆,大半圆的弦AB与小半圆相切,且AB ∥ CD。AB=6cm,求图中阴影部分(大圆部分减去小圆部分)面积。

解:设大半圆和小半圆的半径分别为R和r,则

S?

1111AB29πR2?πr2?π(R2-r2)?π()?π222222

点拨::要求阴影面积,即大半圆面积减去小半圆面积。但在这里两个半圆的半径 都未知,在图(1)中较难发现两个半径与AB的关系,若把图(1)中小半圆移动,使两个半圆的圆心重合,如图(2),阴影部分的面积不变。此时我们容易发现两个半圆的半

1AB2径的平方差等于的平方,这样便可求得图中阴影部分面积。

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