专题精讲：
数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．
初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等．本专题专门复习化归思想．所谓化归思想就是将一种问题转化为另一种问题，从而降低问题的复杂度。化归思想的本质在于所有问题的本质都是一样的，在不同的情况下会变成另一种题目，通过转化或化归思想将复杂的问题转化到简单的问题域中，从而得出问题的答案。常见的转化有：函数到方程的转化；几何域到代数域的转化；分式到整数的转化；具体问题到一般问题的转化；换元等。具体的应用可以参考下面的例题。
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【例1】（嘉峪关，8 分）如图3－1－1，反比例函数y=－与一次x函数y=－x+2的图象交于A、B两点． （1）求 A、B两点的坐标；
8??x1?4?x2??2?y??;? 解：⑴解方程组? 得 x?y??2y?4?1?2??y??x?2 所以A、B两点的坐标分别为A（－2，4）B(4，－2
点拨：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．
【例2】（自贡，5分）解方程：2(x?1)2?5(x?1)?2?0 解：令y= x—1，则2 y—5 y +2=0． 11
所以y1=2或y2=，即x—1＝2或x—1=．
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所以x＝3或x= 故原方程的解为x＝3或x= 22
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点拨：很显然，此为解关于x－1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可根据方程的特点，含未知项的都是含有（x—1）所以可将设为y，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y的一元二次方程，问题就简单化了。
【例3】已知x?x?1?0,求x?2x?2009的值。
2x?x?1?0 解法一：∵
232 ∴x?1?x
∴x?2x?2009=x(1－x)+2(1－x)+2009 =?x?x?2011
2?(x?x?1)?2010 =
2322 =2010
22x(x?x?1)?(x?x?1)?1?2009 解法二：原式=
=2010
点拨：有些数学问题结构复杂，若用常规手法过程繁琐，对这个问题，可以从其结构入手，将结构进行转化，另辟解题途径。此题通过配方法或利用降次来转化，可使问题得以解决。
【例4】如图，已知两个半圆，大半圆的弦AB与小半圆相切，且AB ∥ CD。AB=6cm，求图中阴影部分(大圆部分减去小圆部分）面积。
解：设大半圆和小半圆的半径分别为R和r，则
S?
1111AB29πR2?πr2?π(R2-r2)?π()?π222222
点拨：：要求阴影面积，即大半圆面积减去小半圆面积。但在这里两个半圆的半径 都未知，在图（1）中较难发现两个半径与AB的关系，若把图（1）中小半圆移动，使两个半圆的圆心重合，如图（2），阴影部分的面积不变。此时我们容易发现两个半圆的半
1AB2径的平方差等于的平方，这样便可求得图中阴影部分面积。