www.czsx.com.cn
第19讲 矩形、菱形和正方形
【考纲要求】
1．掌握平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的关系． 2．掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质．
3．灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明. 【命题趋势】
特殊的平行四边形是中考的重点内容之一，常以选择题、填空题、计算题、证明题的形式出现，也常与折叠、平移和旋转问题相结合，出现在探索性、开放性的题目中. 【考点探究】
考点一、矩形的性质与判定
【例1】如图，在△ABC中，点O是AC边上(端点除外)的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE，AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．
分析：判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等．
解：当点O运动到AC的中点(或OA＝OC)时， 四边形AECF是矩形．
证明：∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2. 又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3， ∴∠3＝∠2，∴EO＝CO. 同理，FO＝CO， ∴EO＝FO.
又OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形． 又∵∠1＝∠2，∠4＝∠5， ∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4.
又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°， ∴∠2＋∠4＝90°，即∠ECF＝90°. ∴四边形AECF是矩形．
第 1 页 共 10 页
www.czsx.com.cn
方法总结 矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定．矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点．证明一个四边形是矩形的方法：(1)先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；(2)先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；(3)证明有三个内角为90°.
触类旁通1 如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE.
求证：(1)BF＝DF； (2)AE∥BD.
考点二、菱形的性质与判定
【例2】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.
(1)求证：四边形OCED是菱形；
(2)若∠ACB＝30°，菱形OCED的面积为83，求AC的长．
分析：(1)先证明四边形OCED是平行四边形，然后证明它的一组邻边相等；(2)因为△DOC是等边三角形，根据菱形的面积计算公式可以求菱形的边长，从而求出AC的长．
解：(1)证明：∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝BO＝OD. ∴四边形OCED是菱形．
(2)∵∠ACB＝30°，∴∠DCO＝90°－30°＝60°.
又∵OD＝OC，∴△OCD是等边三角形． 1
过D作DF⊥OC于F，则CF＝OC，
2设CF＝x，则OC＝2x，AC＝4x.
第 2 页 共 10 页
www.czsx.com.cn
DF
在Rt△DFC中，tan 60°＝，
FC∴DF＝FC·tan 60°＝3x.
由已知菱形OCED的面积为83得OC·DF＝83，即2x·3x＝83.解得x＝2.∴AC＝4×2＝8.
方法总结 菱形的定义既可作为性质，也可作为判定．证明一个四边形是菱形的一般方法：(1)四边相等；(2)首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；(3)对角线互相垂直平分；(4)对角线垂直的平行四边形．
触类旁通2 如图，在
ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线
EF⊥BD，分别交AD，BC于点E和点F，求证：四边形BEDF是菱形．
考点三、正方形的性质与判定
【例3】如图①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O.
(1)如图②，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
(2)将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3 cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1 cm，则图③中阴影部分的面积为__________cm2.
分析：根据题目的条件可先证△AEH，△BFE，△CGF，△DHG四个三角形全等，证得四边形EFGH的四边相等，然后由全等再证一个角是直角．
解：(1)四边形EFGH是正方形． 证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA. ∵HA＝EB＝FC＝GD， ∴AE＝BF＝CG＝DH.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. ∴EF＝FG＝GH＝HE. ∴四边形EFGH是菱形．
第 3 页 共 10 页