(x?3)n例（1）（3） (90.5) 求级数?的收敛域. 2nn?1?tn解 令t?x?3，级数?2,由
n?1n?an?1n2lim?lim?1知Rt?1,因此当n??an??(n?1)2n?1?x?3?1即2?x?4时原级数收敛.
?(?1)n当x?2时,原级数为?收敛, 2nn?1?1当x?4时,原级数为?2收敛.
n?1n所以原级数收敛域为[2,4].
(x?2)2n（2）(92.3) 级数?的收敛域为(0,4). nn?4n?1?
tn答 令t?(x?2) 对于?, nn?4n?12?an?1n?4n1由lim, ?lim?n??an??(n?1)?4n?14n于是收敛半径Rt?4,则0?(x?2)?4?0?x?4内收敛.
当x?0和x?4时,原级数都为为(0,4).
21发散,所以收敛域?n?1n?(2x?1)n例4求幂级数?的收敛半径与收敛域.
nn?1? 1
（中心不在原点的级数求收敛域时先作变量替换）
tn解 令t?2x?1,幂级数变形为?,
n?1n1anRt?limn?limn?1?lim?1?Rt?1n??an??n??n?11n?1n1?Rx?
211t?1?x????1?x?0，
22?1当x??1时原级数为?(?1)n收敛，
nn?1?11当x?0时，?发散，故 原级数收敛半径R?，
2n?1n收敛域为[?1,0).
?注意：一般幂级数求收敛半径时作变量代换.
§7.5 泰勒公式与泰勒级数
教学目的：掌握泰勒公式与TaylorTh，了解函数的Taylor
级数与Taylor展式的关系.
重点：泰勒公式与泰勒定理成立的条件,理解泰勒公式的
推导方法.
难点: 理解泰勒公式的推导方法.
教学方法：启发式讲授与指导练习相结合 教学过程：
引例：近似表达函数的多项式的特性
无论是函数的性态还是近似计算，多项式函数总是比较简单.为此可以考虑在一个局部范围内用多项式来近似表示一个复杂函数
引例：当x很小时，e?1?x，
2
x设f(x)?ex，P1(x)?1?x，则
f(0)?P1(0)?1,f?(0)?P1?(0)?1.
x2x2x用P2(x)?1?x＋表示 e?1?x＋在x?0处
22值更为接近.
猜想将P1(x)换成Pn(x)则在x?x0处两函数有直到n阶相同的导数，其在x?x0处接近的程度更高，即
x2xne?1?x????.为用多项式表示更复杂的函
2n!x数：
设有函数f(x)在x?x0的某一邻域内有直到n?1阶的导数，
令f(x)?Pn(x)?a0?a1(x?x0)???an(x?x0)n， 再令 f(x)?Dn?1(I),x0?I?(a,b), 若 f(k)(x0)?Pn(k)(x0),k?0,1,?,n.
（f(0)(x0)?Pn(0)(x0)表示k?0的函数值相等）则 ak?1(k)f(x0) （k?0,1,?,n），于是k!f(x)?Pn(x)?a0?a1(x?x0)???an(x?x0)n.
证明：因Pn(x)?a0?a1(x?x0)???an(x?x0)n,
Pn?(x)?a1?(x?x0)O(1),
Pn??(x)?2!a2?(x?x0)O(1)…… ,
Pn(k)(x)?k!ak?(x?x0)O(1) …… ,
Pn(n)(x)?n!an,
那么 f(k)(x0)?Pn(k)(x0)?k!ak,
1(k)f(x0), k! k?0,1,?,n.
一、泰勒（Taylor）公式
所以 ak? 在讲第三章微分的应用时我们导出了近似公式
3
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)（ 当x?x0很小时）
从几何上看，这是在点x0附近用切线的一段近似地代替曲线弧.在函数改变量的表达式
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?o(x?x0)中 略去了一个关于（x?x0）的高阶无穷小量（x?x0时）.但公式f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)在实际计算中
的精度不高，其误差为
R1(x)?f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)，可以推出
f??(?)R1(x)?(x?x0)2,???x0,x?.
2!如果需要精度更高些，可将（x?x0）的高阶无穷小分
离成两部分
o(x?x0)?a2(x?x0)2?o?(x?x0)2?（x?x0时）.
保留与(x?x0)2同阶的无穷小量，略去(x?x0)2的高阶无穷小量，此时有
f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?a2(x?x0)2，
以此类推，为达到一定精确度的要求，可考虑用n次多项式P(x)近似表示f(x)，当x?x0很小时，将多项式P(x)写成以（x?x0）的方幂展开的形式
P(x)?a0?a1(x?x0)?a2(x?x0)2???an(x?x0)n，其中a0,a1,a2,?是待定系数.我们知道P(x)具有任意阶的连续导数，将P(x)的多项式两边求一阶到n阶导数，并令x?x0可得
P(x0)?a0,P?(x0)?a1,P??(x0)?2!a2,?,
P(n)(x0)?n!an 于是P(x)可以写成
P(x)?P(x0)?P?(x0)(x?x0)?
P??(x0)(x?x0)2??2!4
P(n)(x0)?(x?x0)n
n!若函数f(x)在x?x0的某一邻域内一阶到n阶的导数
都存在，可以做出一个n次多项式
Pn(x)?P(x0)?P?(x0)(x?x0)?
P??(x0)(x?x0)2??2!P(n)(x0)(x?x0)n ?n!Pn(x)不一定等于f(x)，但它可以近似表示f(x)，它
的近似程度可以由误差Rn(x)?f(x)?Pn(x)来确定. 设Rn(x)?k(x?x0)n?1，如果能确定k的值，则
(n?1)!Rn(x)就确定了.
【定理7.10】（泰勒公式）设f(x)在含有x0的区间
I?(a,b)内有直到n?1阶的连续导数,则?x?(a,b)，f(x)可以按（x?x0）的方幂展开为
f(x)?Pn(x)?Rn(x)
?f(x0)?f?(x0)(x?x0)??
1(n)n?f(x0)(x?x0)?Rn(x). n!此式称为按x?x0的幂展开n阶泰勒公式.其中
f(n?1)(?)Rn(x)?(x?x0)n?1 称为拉格朗日型余项,
(n?1)!?介于x0与x之间. 证明：不妨设x?x0.
n?1令Rn(t)?f(t)?P,由条件知：n(t),Gn(t)?(t?x0)(连续n?1次使用柯西中值定理可以证明)
5