2—15.如图所示三角形截面水坝材料的比重为γ，水的比重为γ1。己求得应力解为： σx=ax+by，σy=cx+dy-γy ， τxy=-dx-ay；
试根据直边及斜边上的边界条件，确定常数a、b、c、d。 xO解：首先列出OA、OB两边的应力边界条件： OA边：l1=-1 ；l2=0 ；Tx= γ1y ； Ty=0 则σx=-γ1y ； τxy=0
β代入：σx=ax+by；τxy=-dx-ay 并注意此时：x=0
得：b=-γa=0；
n1；OB边：l1=cosβ；l2=-sinβ，Tx=Ty=0
β??γ则：?xcos???xysin??0………………………………（a）??yxcos??? ysin??0将己知条件：σx= -γ1y ；τxy=-dx
； σy=cx+dy-γy代
B入（a）式得：
?????1ycos??dxsin??0?b????dxcos???cx?dy??y?sin??0?c?
化简（b）式得：d =γ1ctg2β；
化简（c）式得：c =γctgβ-2γ1 ctg3β
?2—17.己知一点处的应力张量为?1260??6100??103Pa
?000????试求该点的最大主应力及其主方向。
解：由题意知该点处于平面应力状态，且知：σx=12×103 σy=10×103 且该点的主应力可由下式求得：
??x??y??2x??y?2?12?10?12?10?22?31.2?2???2????xy??????2?2???6???10???11?37??103??11?6.0828??103?17.083?1034.91724?103?Pa?则显然：?1?17.083?103Pa?2?4.917?103Pa?3?0
σ1 与x轴正向的夹角为：（按材力公式计算）
tg2???2?xysin2?????2???6??x??y12?10?122??6cos2???
显然2θ为第Ⅰ象限角：2θ=arctg（+6）=+80.5376° 则：θ=+40.268840°16＇ 或（-139°44＇）
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γ1yAyτxy=6×10
3
，
5-2：给出??axy；（1）：捡查?是否可作为应力函数。（2）：如以?为应力函数，求出应力分量的表达式。（3）：指出在图示矩形板边界上对应着什么样的边界力。（坐标如图所示） 解：将??axy代入?4??0式
yτ=-ayzτ=-axyox得：??22??0 满足。
故知??axy可作为应力函数。 求出相应的应力分量为：
h2h2?2??2??2???a； ?x?2?0；?y?2?0；?xy???x?x?y?yl上述应力分量?x??y?0；?xy??a在图示矩形板的边界上对应着如图所示边界面力，该板处于纯剪切应力状态。
5-10:设图中的三角形悬臂梁只受重力作用。而梁的比重为p，试用纯三次式：
??ax3?bx2y?cxy2?dy3的应力函数求解应力分量?
解:显然?式满足?2oαx90°+α αnay??0式,可做为应力函数,相应的应力分量为:
???x?2cx?6by?2????y??py?6ax?2by?py?……………………（a）
?x?2????xy????2bx?2cy??x?y?边界条件：
ox边：y=0 , l=0 ,m=-1, Fx=Fy=0 则：2bx=0 得：b=0
-6ax=0 得：a=0
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oa边：y?xtg?,l?cos?90?????sin?;m?cos?;Fx?Fy?0
则：?????2cx?6dxtg??sin??2cxtg??cos??0??2cxtg??sin??pxtg??cos??0?a? b??pctg?； 2p2代入(b)式得：d??ctg?；
3由（c） 式得：c?所以（a）式变为：
??x?pxctg??2pyctg2???y??py ???xy??pyctga?;上式中K为纯剪屈服应力。
7.3 设S1、S2、S3为应力偏量，试证明用应力偏量表示Mises屈服条件时，其
形式为：
322S1?S2?S32???s ?2证明：Mises屈服条件为
??1??2?2???2??3????3??1??2?s2
2222左式??S1?S2???S2?S3???S3?S1?
22?2?S12?S2?S32?S1S2?S2S3?S3S1?
12??32?2??S12?S2?S32???S1?S2?S3??2?2?S1?S2?S3?02?左式?3?S12?S2?S32??2?s2
故有 322S1?S2?S32???s ?200???100?MN/m2，该物体在单向拉伸 0?20007.6 物体中某点的应力状态为????0?300??0?时?s?190MN/m2，试用Mises和Tresca屈服条件分别判断该点是处于弹
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