概率论与数理统计浙大第四版习题答案全

P(2?X?5555?FX()?FX(2)?ln?ln2?ln 22241??,1?x?e,（2）f(x)?F'(x)??x

??0,其它20.[十八（2）]设随机变量X的概率密度f(x)为

?2?1?x2（1）f(x)????0??1?x?1其它

0?x?1?x?（2）f(x)??2?x1?x?2

?其他?0求X的分布函数F (x)，并作出（2）中的f (x)与F (x)的图形。 解：当－1≤x≤1时：

X22F(x)?0dx?1?x2dx????1ππ??1?x?1x1?x2?1arcsinx???2?2??1

?111x1?x2?arcsinx?ππ2当1

??1??0dx??x21?x2dx?0dx?1 ?1π11??0x??1?111F(x)??x1?x2?arcsinx??1?x?1

ππ2?11?x?解：（2）F(x)?P(X?x)??x??f(t)dt

当x?0时,F(x)??x??0dt?0x2当0?x?1时,F(x)?0dt?tdt???02?0?x当1?x?2时,F(x)?当2?x时,F(x)?故分布函数为

?0??0dt??10tdt??x1(2?t)dt?2x?x?122

?0??0dt??10tdt??21(2?t)dt??x20dt?1

?0?x2??F(x)??22x?2x??12???1x?00?x?1

1?x?22?x（2）中的f (x)与F (x)的图形如下 0 1 2 x 0 1 2 x

f (x) F (x) 22.[二十] 某种型号的电子的寿命X（以小时计）具有以下的概率密度：

?1000?x?1000f(x)??x2

?其它?0现有一大批此种管子（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？

解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为

P(X?1500)?1?P(X?1500)?1??1?(1?22)?33?150010001000?1000(?1)1500?dx?1???x1000??x2

令Y表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则Y~B(5,2)，321??11P(Y?2)?1?P(Y?2)?1??P(Y?0)?P(Y?1)??1??()5?C5?()?()4?33??3

1?5?211232?1??1??5243243323.[二十一] 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：

x?1?5?FX(x)??5e,x?0

??0,其它某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开。他一个月要到银行5次。以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出Y的分布律。并求P（Y≥1）。

解：该顾客“一次等待服务未成而离去”的概率为

???1???5P(X?10)?fX(x)dx?edx??e510?e?2

10510?5?因此Y~B(5,e?2).即P(Y?k)???e?2k(1?e?2)5?k,(k?1,2,3,4,5

?k?15P(Y?1)?1?P(Y?1)?1?P(Y?0)?1?(1?e?2)5?1?(1?)?1?(1?0.1353363)57.389?1?0.86775?1?0.4833?0.5167.????xx 24.[二十二] 设K在（0，5）上服从均匀分布，求方程4x2?4xK?K?2?0有实根的概率

1?? ∵ K的分布密度为：f(K)??5?0??00?K?5其他

要方程有根，就是要K满足(4K)2－4×4× (K+2)≥0。 解不等式，得K≥2时，方程有实根。 ∴

??2P(K?2)??1f(x)dx?dx?25?5???50dx?3 525.[二十三] 设X～N（3.22）

（1）求P (22}，P (X>3)

?β?μ???α?μ?∵ 若X～N（μ，σ2），则P (α

?σ??σ??5?3???2?3?P (2

?2??2? =0.8413－0.3085=0.5328

∴

?10?3????4?3?P (－4

22???? =0.9998－0.0002=0.9996

P (|X|>2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 )

??2?3???2?3??

=1??????????2????2??

=1－φ(－0.5) +φ(－2.5)

=1－0.3085+0.0062=0.6977

?3?3? P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ??=1－0.5=0.5

?2?（2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C) ∵ 得 又

P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C) P (X≤C )=

1=0.5 2?C?3??0.5,查表可得C?3?0 ∴ C =3

P (X≤C )=φ??2?2?26.[二十四] 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从N(110,122)在该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求

（1）P (X≤105)，P (100x) ≤ 0.05.

105?110解:(1)P(X?105)??()??(?0.4167)?1??(0.4167)?1?0.6616?0.3384

12120?110100?11055)??()??()??(?)121266

5?2?()?1?2?(0.8333)?1?2?0.7976?1?0.59526P(100?X?120)??((2)P(X?x)?1?P(X?x)?1??(x?110x?110)?0.05??()?0.95.1212

x?110查表得?1.645.?x?110?19.74?129.74.故最小的X?129.74.1227.[二十五] 由某机器生产的螺栓长度（cm）服从参数为μ=10.05，σ=0.06的正态分布。规定长度在范围10.05±0.12内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少？

设螺栓长度为X

P{X不属于(10.05－0.12, 10.05+0.12)

=1－P (10.05－0.12

??(10.05?0.12)?10.05??(10.05?0.12)?10.05?? =1－????????? 0.060.06?????? =1－{φ(2)－φ(－2)} =1－{0.9772－0.0228} =0.0456

28.[二十六] 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为μ=160，σ(未知)的正态分布，若要求P (120＜X≤200＝=0.80，允许σ最大为多少？