概率论与数理统计浙大第四版习题答案全

?200?160????120?160????40?????40??0.80

∵ P (120<X≤200)=?????????σσ?????σ??σ?又对标准正态分布有φ(-x)=1-φ(x)

40???40???0.80 ∴ 上式变为??????1?????σ???σ????40?便得:??40??0.9

解出??????σ??σ? 再查表,得

4040?1.281σ??31.25 σ1.28130.[二十七] 设随机变量X的分布律为: X:-2,

P:

-1, 0,

1,

3

1, 5111, , , 6515 (-1)2

(0)2

11 30(1)2

(3)2

求Y=X 2的分布律

∵ Y=X 2:(-2)2 P:

1 5111 6515 4

9

11 30再把X 2的取值相同的合并,并按从小到大排列,就得函数Y的分布律为: ∴ Y: 0 P:

1

111111 ?561553031.[二十八] 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布

(1)求Y=eX的分布密度

?1∵ X的分布密度为:f(x)???0

Y=g (X) =eX是单调增函数 X=h (Y)=lnY,反函数存在

0?x?1

x为其他又 且

α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1

??max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e

?f[h(y)]?|h'(y)|?1?1?∴ Y的分布密度为:ψ(y)??y?0?(2)求Y=-2lnX的概率密度。 ∵ 又

Y= g (X)=-2lnX 是单调减函数

?Y21?y?ey为其他

X?h(Y)?e 反函数存在。

且 α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0

β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞

yy?1?21?2?e?f[h(y)]?|h'(y)|?1??e∴ Y的分布密度为:ψ(y)??22?0?0?y???y为其他

32.[二十九] 设X~N(0,1) (1)求Y=eX的概率密度 ∵ X的概率密度是f(x)??1e2πx22,???x???

Y= g (X)=eX 是单调增函数 又 且

X= h (Y ) = lnY 反函数存在

α = min[g (-∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0

β = max[g (-∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为:

(lny)2???f[h(y)]?|h'(y)|?1e2?1ψ(y)??y2π?0?0?y??? y为其他(2)求Y=2X2+1的概率密度。

在这里,Y=2X2+1在(+∞,-∞)不是单调函数,没有一般的结论可用。 设Y的分布函数是FY(y), 则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X2+1≤y) =P??当y<1时:FY ( y)=0

???y?1?X?2y?12?? ???当y≥1时:Fy(y)?P????故Y的分布密度ψ( y)是:

y?1?X?2y?1???2???y?12?y?121e2π?x22dx

当y≤1时:ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

y?12y?12?当y>1时,ψ( y)= [FY ( y)]' =?????12?ex2?2??dx? ???1 =e2π(y?1)y?14

(3)求Y=| X |的概率密度。

∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时,FY ( y)=0

当y≥0时,FY ( y)=P (| X |≤y )=P (-y≤X≤y)=∴ Y的概率密度为:

当y≤0时:ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

?y?y?1e2πx22dx

?y2x2?y1???2当y>0时:ψ( y)= [FY ( y)]' =?e2dx??e2

??y2π?π??33.[三十] (1)设随机变量X的概率密度为f (x),求Y = X 3的概率密度。

?∵ 又 且

Y=g (X )= X 3 是X单调增函数, X=h (Y ) =Y,反函数存在,

α = min[g (-∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=-∞

13 β = max[g (-∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为:

1321? ψ( y)= f [h ( h )]2| h' ( y)| = f(y)?y3,???y???,但y?0

3?(0)?0

(2)设随机变量X服从参数为1的指数分布,求Y=X 2的概率密度。

?e?x法一:∵ X的分布密度为:f(x)???0 Y=x2是非单调函数

当 x<0时 y=x? 反函数是x??y 当 x<0时 y=x2 ? x?2

x?0x?0

y=x2 y y

O ∴ Y~ fY (y) = f(?y)(?y)??f(y)(y)? -y y x

?0?1e?? =?2y??0y?12ye?y,y?0y?0

法二:Y~FY(y)?P(Y?y)?P(?y?X?y)?P(X?y)?P(X??y)

?y?xedx?0?1?e?? ?0??0?y,,y?0y?0

?1e??∴ Y~ fY (y) =?2y??0y,,y?0.y?0.

34.[三十一] 设X的概率密度为

?2x0?x?π? f(x)??π2?x为其他?0求Y=sin X的概率密度。

∵ FY ( y)=P (Y≤y) = P (sinX≤y) 当y<0时:FY ( y)=0

当0≤y≤1时:FY ( y) = P (sinX≤y) = P (0≤X≤arc sin y或π-arc sin y≤X≤π) =当1

arcsiny?02xdx?π2?2xdx

π?arcsinyπ2π?0

?arcsiny02xdx?2π

??2x?dx?

π?arcsinyπ2?π2π1?y21≤y时,ψ( y )=[ FY ( y)]' = (1)? = 0

36.[三十三] 某物体的温度T (oF )是一个随机变量,且有T~N(98.6,2),试求θ(℃)

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