课时跟踪检测（二十一） 平面向量数量积的坐标表示
一、基本能力达标
1．设向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a⊥b，则x的值是 ( )
A．±2 C．－2
B．0 D．2
解析：选B 由a⊥b，得a·b＝0，即4x＋x＝0，解得x＝0，故选B.
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝ ( )
A．－12 C．6
B．－6 D．12
解析：选D 2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，∴10＋2－k＝0，解得k＝12.
3．已知向量a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)，则a与b夹角的余弦值为 ( )
A.63
65
63B．－
65D.5 13
63C．±
65
解析：选B 由a＋b＝(2，－8)，a－b＝(－8,16)得a＝(－3,4)，b＝(5，－12)，所以
a·b－15－4863
cos〈a，b〉＝＝＝－，故选B.
|a||b|5×1365
uuuruuuruuuruuur4．平行四边形ABCD中，AB＝(1,0)，AC＝(2,2)，则AD·BD等于 ( )
A．4 C．2
B．－4
D．－2
ruuuruuuuuuruuuruuur解析：选A 在平行四边形ABCD中，AD＝BC＝AC－AB＝(2,2)－(1,0)＝(1,2)，BDuuuruuuruuuruuur＝AD－AB＝(1,2)－(1,0)＝(0,2)，所以AD·BD＝(1,2)·(0,2)＝4.
π
5．已知a＝(2,1)，b＝(－1，－1)，c＝a＋kb，d＝a＋b，c与d的夹角为，则实数k4的值为________．
解析：c＝a＋kb＝(2－k,1－k)，d＝a＋b＝(1,0)， π2?2－k?×1＋?1－k?×02
由cos ＝，得＝， 2222
422?2－k?＋?1－k?·1＋0322
∴(2－k)＝(k－1)，∴k＝.
23答案： 2
6．设平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，y)，若a∥b，则|3a＋b|等于________．
- 1 -
解析：由a∥b，则2×(－2)－1·y＝0，解得y＝－4， 从而3a＋b＝(1,2)，|3a＋b|＝5. 答案：5
7．向量a＝(3,4)在向量b＝(1，－1)方向上的投影为________． 解析：a在b上的投影为
2 2
a·b－12
＝＝－. |b|22
答案：－
8．已知向量a＝(1，3)，2a＋b＝(－1，3)，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________. 解析：∵a＝(1，3)，2a＋b＝(－1，3)， ∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，
a·?2a＋b?1π
∴cos θ＝＝，∴θ＝.
|a||2a＋b|23
π
答案：
3
9．设向量a＝(2,4)，b＝(m，－1)． (1)若a⊥b，求实数m的值； (2)若a∥b，求实数m的值； (3)若|a＋b|＝5，求实数m的值．
解：(1)由a⊥b得a·b＝2m＋4×(－1)＝0，解得m＝2. 1
(2)由a∥b得4m＝2×(－1)，解得m＝－. 2
(3)a＋b＝(2＋m,3)，所以|a＋b|＝?2＋m?＋3＝5，解得m＝2或m＝－6.
10．已知向量a＝(3，－1)和b＝(1，3)，若a·c＝b·c，试求模为2的向量c的坐标．
解：设c＝(x，y)，则a·c＝(3，－1)·(x，y)＝3x－y，b·c＝(1，3)·(x，y)＝x＋3y，
由a·c＝b·c及|c|＝2，得?
22?3x－y＝x＋3y，?x2＋y2＝2，
3＋1
，23－1
.2
??x＝解得???y＝
所以c＝?
3＋1
，23－1
，2
??x＝－或???y＝－
3－1?3＋13－1??3＋1?
，?或c＝?－，－?.
2?22??2?
- 2 -
二、综合能力提升
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝ ( )
?77?A.?，?
?93??77?C.?，? ?39?
7??7
B.?－，－?
9??37??7
D.?－，－?
3??9
解析：选D 设c＝(x，y)，则c＋a＝(1＋x,2＋y)，a＋b＝(3，－1)，由已知可得
??2?2＋y?＋3?x＋1?＝0，
?
?3x－y＝0，?
7
x＝－，??9解得?7
y＝－??3，
7??7
即c＝?－，－?.
3??9
uuurruuuruuuruuu2．△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝1，设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ) AC，
uruuuruuλ∈R，若BQ·CP＝－2，则λ＝( )
1A. 34C. 3
2B. 3D．2
uuuruuur解析：选A 以点A为坐标原点，AB为x轴的正方向，AC为y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，由题意知B(2，0)，C(0,1)，
uuuruuurP(2λ，0)，Q(0,1－λ)，则BQ＝(－2,1－λ)，CP＝(2λ，－1)，
uruuuruu∵BQ·CP＝－2，∴－2×2λ＋
1
(1－λ)×(－1)＝－2，解得λ＝，故选A.
3
3．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为 ( ) 9A．－
2C．3
B．0 D.15 2
解析：选C ∵2a－3b＝(2k－3，－6)．又(2a－3b)⊥c，
- 3 -