学海无涯苦作舟！
1绪论
在一般的《数学分析》中，仅讨论了一元函数及二元函数的极值问题.但是，在生产和实际生活中，我们所要研究的极值问题，不仅仅依赖于一个或两个因素，而更多的是需要讨论三元及更多元函数的极值问题.例如，生产某种产品时，如何用料最省，怎样操作，可以生产最多产品等等，这些实际问题都可以通过函数极值来解决.有相似之处在企业进行诸如建筑、饲养、产品制造及其他大规模生产时，其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示.企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景.他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题.工程技术、自然科学及日常生活中的大量实际问题都可化为求函数的极大值和极小值问题.
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2多元函数的概念
2.1 二元函数的极值的定义[1]
在高等数学中, 常常会遇到求二元函数的极值的问题,设函数z?f?x,y?在点
?x0,y0?的某个领域内有定义, 对该邻域内异于?x0,y0?的点?x,y?,如果都适合不等式
f?x,y??f?x0,y0? ,则称函数在点?x0,y0?取极大值; 如果都适合不等式
f?x,y??f?x0,y0?,则称函数在点?x0,y0?取极小值.使函数取得极大(小)值的点称为极大(小)值点.例如：（图1-1）z??x2?y2??3?x2?y2?
3
原点是极大值 图1-1
2.2 多元函数的极值
二元函数的极值是一个局部概念, 这一概念很容易推广至多元函数.若多元函数
u?f?p??f?x1,x2...,xn?于点P0 的邻域内有定义, 并且当0?p?P0,p???时,
f?P0有极大值(或极小值) ,点P0称0??f?p? (或f?P0??f?p?) ,则说函数f?p?在点P为函数u?f?p?的极值点,关于二元函数的极值点的求法,不少书中都有详细的探讨,并给出了极值取得的必要条件和充分条件,但对于二元以上的多元函数的极值点的求法,
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并未进行详细的讨论,本文将二元函数极值点判别法的有关结论推广到二元以上的多元函数中,以得到多元函数极值的判别法则.
2.3 多元函数的极值的几个判定定理
[1]
不少微积分的教材中,给出了关于二元函数取得极值的必要条件,即有下面的定理.
定理1 设函数在点z??x,y?在点?x0,y0?具有偏导数且取得极值,则它在该点的
偏导数必为0,即fx?x0,y0??fy?x0,y0??0将此定理推广至一般的多元函数,即有定理2.
定理2 设函数u?f?p??f?x1,x2...,xn?在点P0?x1,x2,?,xn?的邻域内有定
000义,u?f?p?在点P0具有偏导数,可微分的函数f?p?仅在稳定点P0即在偏导数是0的点
P0 能达到极值,所以函数f?p?的极值点应当满足方程组fxi?P0??0 (i?1,2,...,n) .
证明:f?p?在点P0 取得极值,则固定
x2?x20,?,xn?xn0, u?f?p??f?x1,x2...,xn?
在点x1?x10取得极值, fx1??P0??0,同理fxi??P0??0?i?2,?,n?.
另外在一些文献中又给出了极值的充分条件,即有下面的定理3.
定理3 设函数z??x,y?在点?x0,y0?的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数,
又令fx?x0,y0??0,fy?x0,y0??0令fxx?x0,y0??0, fxy?x0,y0??0, fyy?x0,y0??0,则
f?x,y?在?x0,y0?处是否取得极值的条件如下:
1) AC?B2?0时具有极值,且当A?0时有极大值,当A?0时有极小值; 2) AC?B2?0时没有极值;
3) AC?B2?0时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论. 现将此定理推广至一般多元函数, 即有下面的定理4.
?a11?a21?定理4 设Pi??...??ai1a12a22...ai2...a1i??...a2i??i?1,2,...,i?, f?x1,x2,?,xn?在点P0的某邻域内
......??...aii?有直至n阶的连续偏导数,又设P,2,...,n?,记0是稳定点, fx1?P0???i?1aij?fxixj?P0??i?1,2,...,n;j?1,2,...,n?,...,a2n?fx2xn?P0?,...a?n?1?n?P0?,ann?fxnxn?P0?,