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《勾股定理》典型例题分析
一、知识要点：
1、勾股定理
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2。公式的变形：a2=c2-b2，b2=c2-a2。
2、勾股定理的逆定理
如果三角形ABC的三边长分别是a，b，c，且满足a2+b2=c2，那么三角形ABC是直角三角形。这个定理叫做勾股定理的逆定理. 该定理在应用时，同学们要注意处理好如下几个要点： ① 已知的条件：某三角形的三条边的长度. ②满足的条件：最大边的平方=最小边的平方+中间边的平方. ③得到的结论：这个三角形是直角三角形，并且最大边的对角是直角. ④如果不满足条件，就说明这个三角形不是直角三角形。 3、勾股数 满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数。注意：①勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。②一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数有： （3，4，5?）(5，12，13?)(?6，8，10?)?(?7，24，25?)?(?8，15，17?)(9，12，15?)? 4、最短距离问题：主要 5、运用的依据是两点之间线段最短。 S1S2S3二、考点剖析 考点一：利用勾股定理求面积
1、求阴影部分面积：（1）阴影部分是正方形；（2）阴影部分是长方形；（3）阴影部分是半圆． 2.如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作三个半圆，试探索三个半圆的面积之间的关系． 3、如图所示，分别以直角三角形的三边向外作三个正三角形，是S1、S2、S3，则它们之间的关系是（）
A.S1-S2=S3B.S1+S2=S3C.S2+S3 其面积分别 精心整理 精心整理 4、四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 5、(难）在直线上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是 、 =_____________。 考点二：在直角三角形中，已知两边求第三边 1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm，则斜边长为． 2．已知直角三角形的两边长为3、2，则另一条边长的平方是 3、已知直角三角形两直角边长分别为5和12，求斜边上的高． 4、把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则斜边扩大到原来的（） A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍 5、在Rt△ABC中，∠C=90° ①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________； ④若a∶b=3∶4，c=10则Rt△ABC的面积是=________。 6、如果直角三角形的两直角边长分别为n2?1，2n（n>1），那么它的斜边长是（ ） A、2n B、n+1 C、n2－1 D、n2?1 7、在Rt△ABC中，a,b,c为三边长，则下列关系中正确的是（） A.a2?b2?c2B.a2?c2?b2C.c2?b2?a2D.以上都有可能 8、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ） A、24cm2 B、36cm2 2 C、48cm2 2 2 D、60cm2 9、已知x、y为正数，且│x-4│+（y-3）=0，如果以x、y的长为直角边作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边为边长的正方形的面积为（） A、5 B、25 C、7 D、15 10、已知在△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12cm，求△ABC的周长。 （提示：两种情况） 精心整理 精心整理 考点三：应用勾股定理在等腰三角形中求底边上的高 例、如图1所示，等腰AD的长；②ΔABC的面积． 中，，是底边上的高，若，求① 考点四：勾股数的应用、利用勾股定理逆定理判断三角形的形状、最大、最小角的问题 1、下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是（） A.4，5，6B.2，3，4C.11，12，13D.8，15，17 2、若线段a，b，c组成直角三角形，则它们的比为（ ） A、2∶3∶4 B、3∶4∶6 C、5∶12∶13 D、4∶6∶7 3、下面的三角形中： ①△ABC中，∠C=∠A－∠B； ②△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3； ③△ABC中，a：b：c=3：4：5； ④△ABC中，三边长分别为8，15，17． 其中是直角三角形的个数有（）． A．1个B．2个C．3个D．4个 4、若三角形的三边之比为21::1，则这个三角形一定是（） 22A.等腰三角形B.直角三角形 C.等腰直角三角形D.不等边三角形 5、已知a，b，c为△ABC三边，且满足(a－b)(a+b－c)＝0，则它的形状为（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 22222C.等腰直角三角形 6、将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数,得到的三角形是() A．钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.等腰三角形 7、若△ABC的三边长a,b,c满足a2?b2?c2?200?12a?16b?20c，试判断△ABC的形状。 8、△ABC的两边分别为5,12，另一边为奇数，且a+b+c是3的倍数，则c应为，此三角形为。 例3：求 （1）若三角形三条边的长分别是7,24,25，则这个三角形的最大内角是度。 精心整理