精析由递推公式求通项的9种方法
1．an＋1＝an＋f(n)型
把原递推公式转化为an＋1－a n＝f(n)，再利用累加法(逐差相加法)求解，即an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝a1＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)．
11
[例1] 已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝an＋2，求an.
2n＋n[解] 由条件，知an＋1－an＝
1111
＝＝－，则(a2－a1)＋(a3－a2)＋(a4－a3)n2＋nn?n＋1?nn＋1
1??11??11??1－1??＋…＋(an－an－1)＝?1－2?＋?2－3?＋?3－4?＋…＋??，
?n－1n?
1
所以an－a1＝1－.
n
11131
因为a1＝，所以an＝＋1－＝－.
22n2n
2．an＋1＝f(n)an型
an＋1
把原递推公式转化为a＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)
n
a2a3anan
求解，即由＝f(1)，＝f(2)，…，＝f(n－1)，累乘可得＝
a1a2a1an－1f(1)f(2)…f(n－1)．
2n
[例2] 已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝·a，求an.
3n＋1nan＋1nn
[解] 由an＋1＝·an，得＝，
ann＋1n＋1
n－1n－2anan－1a21222
故an＝··…··a1＝××…××＝.即an＝. a1n233n3nan－1an－2n－1
3．an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型
对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公式改写为an＋1＋t＝p(an＋t)，比较系数可知t＝
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q
，可令an＋1＋tp－1
＝bn＋1换元即可转化为等比数列来解决．
[例3] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an.
[解] 设递推公式an＋1＝2an＋3可以转化为an＋1－t＝2(an－t)，即an＋1＝2an－t，则t＝－3.
故递推公式为an＋1＋3＝2(an＋3)．
bn＋1an＋1＋3
令bn＝an＋3，则b1＝a1＋3＝4，且＝＝2.
bnan＋3所以{bn}是以b1＝4为首项，2为公比的等比数列． 所以bn＝4×2n1＝2n1，即an＝2n1－3.
－
＋
＋
4．an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型
(1)一般地，要先在递推公式两边同除以q
n＋1
an＋1pan
，得n＋1＝q·qn＋q
?an?1p1
??其中b＝，引入辅助数列{b}，得b＝·b＋nnn＋1
qn?qqnq，再用待定?
系数法解决；
(2)也可以在原递推公式两边同除以p
n
n＋1
an＋1an1?q?
??，得n＋1＝pn＋p·?p?p
?an?
?，引入辅助数列{bn}其中bn＝pn?，得??1?q?n
bn＋1－bn＝p?p?，再利用叠
??
加法(逐差相加法)求解．
1?n＋151
[例4] 已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋??2?，求an. 63
1?n＋112nn＋1n＋1[解] 法一：在an＋1＝an＋?两边乘以2，得2·aan)＋1. n＋1＝(2·?2?332令bn＝2n·an，则bn＋1＝bn＋1，
3
2
根据待定系数法，得bn＋1－3＝(bn－3)．
3
54
所以数列{bn－3}是以b1－3＝2×－3＝－为首项，
632
以为公比的等比数列． 3
4?2?n－1?2?n. 所以bn－3＝－·，即bn＝3－2?3?3?3?
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1?n?1?nbn
于是，an＝n＝3??2?－2?3?. 2
1?n＋11n＋1法二：在an＋1＝an＋??2?两边乘以3，得 33?n＋13n＋1an＋1＝3nan＋??2?.
3?n＋1令bn＝3n·an，则bn＋1＝bn＋??2?.
3?n?3?n－1，…， 所以bn－bn－1＝?，bn－1－bn－2＝?2??2?3?2b2－b1＝??2?. 将以上各式叠加，
3?2?3?n－1＋?3?n. 得bn－b1＝?＋…＋?2??2??2?553又b1＝3a1＝3×＝＝1＋，
622
33?2?3?n－1＋?3?n 所以bn＝1＋＋?＋…＋?2??2?2?2??1－?3?n＋1?1·??2???3?n＋1
＝＝2?2?－2，
31－2
3?n＋1
即bn＝2??2?－2. 1?nbn?1?n. 故an＝n＝3?－2?2??3?3
5．an＋1＝pan＋an＋b(p≠1，p≠0，a≠0)型
这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令an＋1＋x(n＋1)＋y＝p(an＋xn＋y)，与已知递推式比较，解出x，y，从而转化为{an＋xn＋y}是公比为p的等比数列．
[例5] 设数列{an}满足a1＝4，an＝3an－1＋2n－1(n≥2)，求an. [解] 设递推公式可以转化为an＋An＋B＝3[an－1＋A(n－1)＋B]，
??2A＝2，化简后与原递推式比较，得?
?2B－3A＝－1，?
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