...................................
........6分
所以X的分布列为
...........................................7分 〔II〕
这3年中第二年的利润少于第一年的概率为
P(X?2200)?P(X?1000)?P(X?4200)?P(X?1000)?P(X?4200)?P(X?2200) ?0.31. .....................................
......13分 17.
〔I〕证明：在?PAD中，PA?PD,Q为AD中点.
所以PQ?AD ...........................................1分 因为平面PAD?底面ABCD，且平面PAD底面ABCD?AD
所以PQ?底面ABCD ...........................................3分 又AB?平面ABCD
所以PQ?AB. ...........................................4分 〔II〕解：在直角梯形ABCD中，AD//BC,BC?所以
所以四边形BCDQ为平行四边形 因为AD?DC 所以AD?QB
由〔I〕可知PQ?平面ABCD
1AD,Q为AD中点 2所以，以Q为坐标原点，建立空间直角坐标系，Q?xyz.如图.
那么Q(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,3),C(?1,3,0),
D(?1,0,0),B(0,3,0).
所以
uuruuuruuurPB?(0,3,?3),CD?(0,?3,0),PD?(?1,0,?3) ...........................................
6分
设平面PCD的法向量为n?(x,y,z),那么
?????3y?0?n?CD?0?y?0,,即亦即 ???????x??3z??x?3z?0?n?PD?0令z?1，得x??3,y?0.所以n?(?3,0,1) ...........................................8分
设直线PB与平面PCD所成角为?，那么
sin??|cos?n,PB?|?n?PB2?. 4|n||PB|2. ...........................................104所以PB与平面PCD所成角的正弦值为分
〔III〕解：如〔II〕中建立空间直角坐标系 因为AQ?PQ,AQ?BQ 所以AQ?平面PQB
即QA为平面PQB的法向量，且
QA?(1,0,0). ...........................................11分
因为M是棱PC的中点
所以点M的坐标为(?,又QB?(0,3,0)
133,) 222设平面MQB的法向量为m?(x,y,z).
??m?QB?0那么?
??m?QM?0?3y?0?即?1 33y?z?0??x??222令z?1,得x?3,y?0 所以
m?(3,0,1) ........................... ...........................................13分
所以cos?QA,m??OA?m3 ?2|OA||m|由题知，二面角P?QB?M为锐角 所以二面角P?QB?M的余弦值为分 18.
〔I〕解：f(x)?a2x2?ax?lnx
3................ ...........................................14212a2x2?ax?1f?(x)?2ax?a??xx
(ax?1)(2ax?1)?(x?0)x2............... ...........................................2
分
所以，a?0时，变化情况如下：
f(x)与f?(x)的
因此，函数f(x)的单调递增区间为( 单调递减区间位
1,??)； 2a(0,1............... ...........................................6分 ).2a
〔II〕证明：g(x)?a2x2?f(x)?lnx?ax
g?(x)?1?a x所以g?(1)?1?a 所以l的斜率为
kl?1?a............... ...........................................7分
因为l?//l，且l?在y轴上的截距为1 所以直线l?的方程为
y?(1?a)x?1 ............... ...........................................8分
令h(x)?g(x)?[(1?a)x?1]?lnx?x?1(x?0)
那么无论a取任何实数，函数g(x)的图象恒在直线l?的下方，等价于h(x)?0
(?a?R,?x?0) ............... ..................................
.........9分 而
h?(x)?11?x............... ......................................?1?xx
.....10分
当x?(0,1)时，h?(x)?0，当x?(1,??)时，h?(x)?0 所以函数h(x)在(0,1)上单调递增，在(1,??)上单调递减 从而当x?1时，h(x)取得最大值h(1)??2 即在(0,??)上，h(x)取得最大值
h(1)??2 ............... ...........................................12分
所以h(x)??2?0(?a?R,?x?0)
因此，无论a取任何实数，函数g(x)的图象恒在直线l?的下方. ......................................13分
x2y2??1. 19.解：〔I〕由题意，椭圆C的标准方程为43所以a2?4,b2?3,从而c2?a2?b2?1. 因此，a?2,c?1. 故椭圆C的离心率
e?c1..... ...........................................4分 ?.a2
32〔II〕由题意可知，点P的坐标为(?1,). 设l1的方程为y?k(x?1)?.那么l2的方程为
323y??k(x?1)?.........................................5分
23?y?k(x?1)??2222由?2 得(4k?3)x?(8k?12k)x?4k?12k?3?0. ?3x2?4y2?12?由于x??1是此方程的一个解.
4k2?12k?3所以此方程的另一解xA?? 24k?3同理
4k2?12k?3xB??............... ..........................................
4k2?3
.7分
故直线AB的斜率为kAB
33?k(xB?1)??k(xA?1)?y?yA22 ?B?xB?xAxB?xA?8k2?6?k(2?2)14k?3???. ........... ...........................................9分
24k24k2?3