2014年“北约”“华约”自主招生模拟试题
数学（满分150分）
第一部分：填空题（共5小题 每题10分）
221. 若tan??2,则4sin??3sin?cos??5cos?= 1 .
2. 在复数集C内,方程2x2?(5?i)x?6?0的解为 . 3. 设x?(15?220)19?(15?220)82，求数x的个位数字.
4. 设A?{n|100?n?600,n?N}，则集合A中被7除余2且不能被57整除的数的个数为______70_______.
5. 设P是抛物线y2?4y?4x?0上的动点,点A的坐标为(0,?1),点M在直线PA上, 且分PA所成的比为2:1,则点M的轨迹方程是 9y2-12x-4=0 .
第二部分：解答题（共5小题 每题20分）
1设集合A??xlog1?3?x???2?，B??x?????????22a??1?．若AB??，求实数a的取值
?x?a?范围
-1≤a＜0或0＜a≤3
2. 为了搞好学校的工作，全校各班级一共提了P(P?N?)条建议.已知有些班级提出了相同的建议，且任何两个班级都至少有一条建议相同，但没有两个班提出全部相同的建议.求证该校的班级数不多于2
P?1个
3. 设平面向量a?(3,?1),b?(,??13).若存在实数m(m?0)和角?(??(?,)),
2222使向量c?a?(tan2?3)b,d??ma?btan?,且c?d.
(I)求函数m?f(?)的关系式; (II)令t?tan?,求函数m?g(t)的极值.
4. 已知双曲线的两个焦点分别为F1,F2,其中F1又是抛物线y?4x的焦点,点A(?1,2), B(3,2)在双曲线上.
(I)求点F2的轨迹方程; (II)是否存在直线y?x?m与点F2的轨迹有且只 有两个公共点?若存在,求实数m的值,若不存在,请说明理由.
5. 已知a，b均为正整数，且a?b,sin??对一切n?N*，An均为整数
2ab?(其中0???),An?(a2?b2)n?sinn?,求证：22a?b22
参考答案
一、 选择题
22221. 由tan??2,得sin??2cos?,有sin??4cos?,即1?cos??4cos?.
则cos??212222,原式=16cos??6cos??5cos??5cos??1. 52. 设x?a?bi,a,b?R,代入原方程整理得(2a2?2b2?5a?6?b)?(4ab?a?5b)i?0
3?a??2a?2b?5a?6?b?0?a?1?33?2有?,解得?或?,所以x?1?i或x??i.
22?b?1?b??3?4ab?a?5b?0??2223. 直接求x的个位数字很困难，需将与x相关数联系，转化成研究其相关数.
【解】令y?(15?220)19?(15?220)82,则x?y?[(15?220)19?(15?220)82]
?[(15?220)19?(15?220)82]，由二项式定理知，对任意正整数n.
2(15?220)n?(15?220)n?2(15n?Cn?15n?2?220??) 为整数，且个
位数字为零.
因此，x?y是个位数字为零的整数.再对y估值， 因为0?15?220?515?220?58819?0.2， 且(15?220)?(15?220)， 25所以0?y?2(15?220)19?2?0.219?0.4. 故x的个位数字为9.
【评述】转化的思想很重要，当研究的问题遇到困难时，将其转化为可研究的问题. 4. 解：被7除余2的数可写为7k?2. 由100≤7k?2≤600.知14≤k≤85.
57n?2n?2?8n?. 77即n?2应为7的倍数. 设n?7m?2代入，得k?57m?16. ∴14?57m?16?85. ∴m=0,1.于是所求的个数为70．
x?2?0y?2?(?1)5. 设点P(x0,y0),M(x,y),有x?0,y?0,得x0?3x,y0?3y?2
33又若某个k使7k?2能被57整除，则可设7k?2=57n. 即k?而y0?4y0?4x0?0,于是得点M的轨迹方程是9y?12x?4?0.
22二、 解答题