海淀区高三年级第一学期期中练习
数 学（理） 2018.11
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项。
（1）设集合A?{x?R|x?1}，B?{x?R|?1≤x≤2}，则A（A）[?1,??)
（B）(1,??)
（C）(1,2]
B?（ ）
（D）[?1,1)
（2）已知向量a?(2,?1)，b?(3,x). 若a?b?3，则x?（ ） （A）6
（B）5
（C）4
（D）3
（3）若等比数列{an}满足a1?a3?5，且公比q?2，则a3?a5?（ ） （A）10
（B）13
（C）20
（D）25
（4）要得到函数y?sin(2x? （A）向左平移
π)的图象，只需将函数y?sin2x的图象（ ） 3（B）向左平移
?个单位 3?个单位 3?个单位 6?个单位 6（C）向右平移（D）向右平移
111（5）设a?()3，b?log2，c?log23，则（ ）
32（A）a?b?c
（B）c?a?b
（C）a?c?b
（D）c?b?a
（6） 设a,b?R，则“ab?0且a?b”是“（A）充分而不必要条件 （C）充分必要条件
11?”的（ ） ab（B）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
???x,x?0,（7）已知函数f(x)??若关于x的方程f(x)?a(x?1)有三个不相等的实数根，
??x,x≥0.则实数a的取值范围是（ ） （A）[,??)
12（B）(0,??) （C）(0,1) （D）(0,)
12
（8）设等差数列{an}的前n项和为
an(Sn)Sn.在同一个坐标系中，an?f(n)及Sn?g(n)的部分图象如图所示，则
（ ）
0.77-0.4-0.8O8n
（A）当n?4时，Sn取得最大值 （C）当n?4时，Sn取得最小值
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）设复数z?（B）当n?3时，Sn取得最大值 （D）当n?3时，Sn取得最小值
i，则z?______． 1?ix?a（10） 已知函数y?2（11）
的图象关于y轴对称，则实数a的值是 . ?π?π(x?sinx)dx? ________.
（12）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C（单位：
mg/L）随时间t（单位：h）的变化关系为C?药品的浓度达到最大.
20t，则经过_______h后池水中t2?4D为BC边上的一点，（13）如图所示，在△ABC中， 且BD?2DC.
若AC?mAB?nAD(m,n?R)，则m?n?____.
ABDC（14）已知函数f(x)?Asin(?x??)（A,?,?是常数，A?0,??0）的最小正周期为π,
设集合M?{直线ll为曲线y?f(x)在点(x0,f(x0))处的切线，x0?[0,π)}.若集合
M中有且只有两条直线互相垂直，则?= ；A= .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。 （15）（本小题满分13分）
已知函数f(x)?sinx?sin(x?).（Ⅰ）求f()的值；（Ⅱ）求f(x)的单调递增区间.
（16）（本小题满分13分）
已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1?π3π21，且a1,a3,?a2成等差数列. 2（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an?n}的前n项和Sn.
（17）（本小题满分13分）
如图所示，在四边形ABCD中，?D?2?B，且AD?1,CD?3,cosB?（Ⅰ）求△ACD的面积； （Ⅱ）若BC?23，求AB的长.
BCAD3. 3
（18）（本小题满分14分）
已知函数f(x)?2alnx?x2?1.
（Ⅰ）若a?1,求函数f(x)的单调递减区间；
（Ⅱ）若a?0，求函数f(x)在区间[1,??)上的最大值； （Ⅲ）若f(x)?0在区间[1,??)上恒成立，求a的最大值.
（19）（本小题满分13分）
已知数列{an}的前n项和Sn?（Ⅰ）求a1的值；
（Ⅱ）求证：(n?2)an?1?(n?1)an?1(n?2)； （Ⅲ）判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由.
（20）（本小题满分14分）
设函数f(x)?11C:y?f(x)，为曲线在点(?1,)处的切线. L5x2?16x?2312n(1?an)(n?1,2,3,). 2（Ⅰ）求L的方程；
11（Ⅱ）当x??时，证明：除切点(?1,)之外，曲线C在直线L的下方；
512（Ⅲ）设x1,x2,x3?R，且满足x1?x2?x3??3，求f(x1)?f(x2)?f(x3)的最大值．
海淀区高三年级第一学期期中练习
数学（理）答案及评分参考 2018.11
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C （2）D （3）C （4）B （5）B （6）A （7）D （8）A 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。有两空的小题，第一空2分，第二空3分） （9）
2 （10）0 （11）0 21 2（12）2 （13）?2 （14）2；三、解答题（共6小题，共80分） （15）（共13分）
πππ11?sin(?)?1??. ……………… 3分 22322π（Ⅱ）f(x)?sinx?sin(x?)
3ππ ?sinx?(sinxcos?cosxsin) ……………… 5分
33解：（Ⅰ）f()?sin ?sinx?(sinx?π212313πcosx)?sinx?cosx?sin(x?). 2223 ………… 9分 函数y?sinx的单调递增区间为[2kπ? 由2kπ?ππ,2kπ?](k?Z)， 22πππ≤x?≤2kπ?(k?Z)， ………… 11分 232π5π(k?Z). 得2kπ?≤x≤2kπ?66π5π](k?Z). ………… 13分 所以 f(x)的单调递增区间为[2kπ?,2kπ?66（16）（共13分）
解：（Ⅰ）因为 a1,a3,?a2成等差数列，
所以 2a3?a1?a2. ……………… 2分 设数列{an}的公比为q(q?0)，由a1?1可得2