1．2 在0K附近，钠的价电子能量约为3eV，求其德布罗意波长。
解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知
E=hv，
hP?
?如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（E动???ec2），那么
p2 E?2?e如果我们考察的是相对性的光子，那么
E=pc
注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即0.51?106eV，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有
??
h
p
???h2?eEhc2?ec2E1.24?10?662?0.51?10?3?0.71?10?9m?0.71nm在这里，利用了
m
hc?1.24?10?6eV?m
以及
?ec2?0.51?106eV
最后，对
??hc2?ecE2
作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
1．3 氦原子的动能是E?布罗意波长。
解 根据
3kT（k为玻耳兹曼常数），求T=1K时，氦原子的德21k?K?10?3eV，
知本题的氦原子的动能为
E?33kT?k?K?1.5?10?3eV, 22显然远远小于?核c2这样，便有
??hc2?核cE2
?1.24?10?69?32?3.7?10?1.5?10?0.37?10?9m?0.37nm这里，利用了
m
?核c2?4?931?106eV?3.7?109eV
最后，再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论，由某种粒子构成的温度为T的体系，其中粒子的平均动能的数量级为kT，这样，其相应的德布罗意波长就为
??hc2?cE2?hc2?kcT2
据此可知，当体系的温度越低，相应的德布罗意波长就越长，这时这种粒子的波动性就越明显，特别是当波长长到比粒子间的平均距离还长时，粒子间的相干性就尤为明显，因此这时就能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布，而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。 p.52
2.1.证明在定态中，几率流密度与时间无关。 证：对于定态，可令
???(r，t)??(r)f(t)???Et ??(r)e?i? J?(???*??*??)2?iiiii
Et???Et???Et*???Eti?*?? ?[?(r)e?（?(r)e）??(r)e?（?(r)e）]2?????i? ?[?(r)??*(r)??*(r)??(r)]2?? 可见J与t无关。
2.2 由下列两定态波函数计算几率流密度：
11r(2)?2?e?ikr (1)?1?eik
rr 从所得结果说明?1表示向外传播的球面波，?2表示向内(即向原点) 传播的球面波。
?? 解：J1和J2只有r分量
???1??1??e?在球坐标中 ??r0?e?
?rr??rsin????i?**(1) J1?(?1??1??1??1)2?i?1ikr?1?ikr1?ikr?1ikr? ?[e(e)?e(e)]r02?r?rrr?rr i?111111? ?[(?2?ik)?(?2?ik)]r02?rrrrrr?k??k? ?2r0?3r?r?r?? J1与r同向。表示向外传播的球面波。