平行四边形存在性问题
考虑到求证平行四边形存在，必先了解平行四边形性质： （1）对应边平行且相等； （2）对角线互相平分．
这是图形的性质，我们现在需要的是将其性质运用在在坐标系中： ?xA?xB?xD?xC（1）对边平行且相等可转化为：?，
y?y?y?yBDC?A可以理解为点B移动到点A，点C移动到点D，移动路径完全相同．
DAyD-yCyA-yBBCxD-xCxA-xB
?xA?xCxB?xD???22（2）对角线互相平分转化为：?，
y?yy?yCD?A?B??22可以理解为AC的中点也是BD的中点．
DACB
【小结】虽然由两个性质推得的式子并不一样，但其实可以化为统一：?xA?xB?xD?xC?xA?xC?xD?xB?， ??y?y?y?yy?y?y?yBDCCDB?A?A?xA?xCxB?xD???xA?xC?xB?xD?22→． ??y?y?y?yy?yy?yCBD?ACD?A?B??22当AC和BD为对角线时，结果可简记为：A?C?B?D（各个点对应的横纵坐标相加）
以上是对于平行四边形性质的分析，而我们要求证的是平行四边形存在性问题，此处当有一问：若坐标系中的4个点A、B、C、D满足“A+C=B+D”，则四边形ABCD是否一定为平行四边形？
1
反例如下：
DBMAC
之所以存在反例是因为“四边形ABCD是平行四边形”与“AC、BD中点是同一个点”并不是完全等价的转化，故存在反例．
虽有反例，但并不影响运用此结论解题，另外，还需注意对对角线的讨论： （1）四边形ABCD是平行四边形：AC、BD一定是对角线．
（2）以A、B、C、D四个点为顶点是四边形是平行四边形：对角线不确定需要分类讨论．
【题型分类】
平行四边形存在性问题通常可分为“三定一动”和“两定两动”两大类问题． 1．三定一动
已知A（1，2）B（5，3）C（3，5），在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形．
yCD2BAxAOD3xByD1CO
思路1：利用对角线互相平分，分类讨论：
设D点坐标为（m，n），又A（1，2）B（5，3）C（3，5），可得： ?5?3?1?m（1）BC为对角线时，?，可得D1?7,6?；
3?5?2?n??1?3?5?m（2）AC为对角线时，?，解得D2??1,4?；
?2?5?3?n?1?5?3?m（3）AB为对角线时，?，解得D3?3,0?．
2?3?5?n?2
yD1CD2BAOD3x
当然，如果对这个计算过程非常熟悉的话，也不用列方程解，直接列算式即可． 比如：D1=B?C?A，D2=A?C?B，D3?A?B?C．（此处特指点的横纵坐标相加减）
2．两定两动
已知A（1，1）、B（3，2），点C在x轴上，点D在y轴上，且以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求C、D坐标．
yAOBx
【分析】
设C点坐标为（m，0），D点坐标为（0，n），又A（1，1）、B（3，2）． ?1?3?m?0?m?4（1）当AB为对角线时，?，解得?，故C（4，0）、D（0，3）；
n?31?2?0?n???1?m?3?0?m?2（2）当AC为对角线时，?，解得?，故C（2，0）、D（0，-1）；
1?0?2?nn??1???1?0?3?m?m??2（3）当AD为对角线时，?，解得?，故C（-2，0）、D（0，1）．
1?n?2?0n?1??yDBAAOCxODCxCBDOBAxyy
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