专题05函数的单调性与最值
最新考纲
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义． 2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.
基础知识融会贯通 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 (1)对于任意的x∈I，都有条件 (3)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论
【知识拓展】 函数单调性的常用结论
M为最大值 M为最小值
(1)对?x1，x2∈D(x1≠x2)，是减函数．
fx1－fx2fx1－fx2
>0?f(x)在D上是增函数，<0?f(x)在D上
x1－x2x1－x2
(2)对勾函数y＝x＋(a>0)的增区间为(－∞，－a]和[a，＋∞)，减区间为[－a，0)和(0，a]． (3)在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数．
(4)函数f(g(x))的单调性与函数y＝f(u)和u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”．
ax
重点难点突破
【题型一】确定函数的单调性(区间) 命题点1 给出具体解析式的函数的单调性 【典型例题】
下列函数中，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A．y＝x+2x
2
B．y＝2
x+1
C．y＝x+1
3
D．y＝（x﹣1）|x|
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝x+2x＝（x+1）﹣1，其值域为[﹣1，+∞），不符合题意； 对于B，y＝2，其值域为（0，+∞），不符合题意；
对于C，y＝x+1，值域为R且在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意； 对于D，y＝（x﹣1）|x|故选：C．
【再练一题】
，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；
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2
x+1
已知函数f（x）＝ln，则（ ）
A．f（x）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上单调递增 B．f（x）是奇函数，且在（﹣∞，+∞）上单调递减 C．f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增 D．f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递减
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ln，其定义域为R，
有f（﹣x）＝lnlnf（x），则函数f（x）为偶函数，
设t，y＝lnt，
对于t∞）上为增函数，
，则导数t′，当x＞0时，t′＞0，即函数t在区间（0，+
又由y＝lnt在区间（0，+∞）上为增函数，
则函数f（x）＝ln故选：C．
在0，+∞）上为增函数，
命题点2 解析式含参数的函数的单调性 【典型例题】
定义在R的函数f（x）＝﹣x+m与函数g（x）＝f（x）+x+x﹣kx在[﹣1，1]上具有相同的单调性，则k的取值范围是（ ） A．（﹣∞，﹣2] C．[﹣2，2]
3
3
3
2
B．[2，+∞）
D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝﹣x+m，其定义域为R，则R上f（x）为减函数，
g（x）＝f（x）+x3+x2﹣kx＝x2﹣kx+m在[﹣1，1]上为减函数，
必有x1，解可得k≥2，
即k的取值范围为[2，+∞）； 故选：B．
【再练一题】 已知函数f（x）
（a＞0且a≠1）在R上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．[，1） B．（0，] C．[，] D．（0，]
【解答】解：由题意，分段函数是在R上单调递减，可得对数的底数需满足0＜a＜1，