直角三角形斜边上的中线的性质及其应用

“直角三角形斜边上的中线”的性质及其应用

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是直角三角形的重要性质之一,而且斜边上的中线将直角三角形分割成两个顶角互补、底角互余的两个等腰三角形,如能善于把握图形特征,恰当地构造并借助直角三角形斜边上的中线,往往能帮助我们迅速打开解题思路,从而顺利地解决问题,下面举例说明.

一、有直角、有中点,连线出中线,用性质

例1.如图1,BD、CE是△ABC的两条高,M是BC的中点, N是DE的中点.试问:MN与DE有什么关系?证明你的猜想.

猜想:MN垂直平分DE.

图1

证明:如图:连接ME、MD,在Rt△BEC中,∵点M是斜边BC的中点,∴ME=直线MN是线段DE的垂直平分线,∴NM⊥DE.即MN垂直平分DE.

1BC,又NE=ND,∴2评析:题目中给出了三角形的两条高与两个中点,联想“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”,问题便迎刃而解.

二、有直角、无中点,取中点,连线出中线,用性质 例2.如图2,在Rt△ABC中,∠C=90,AD∥BC,∠CBE=求证:DE=2AB

分析:欲证DE=2AB,则可寻DE的一半,再让其与AB相等,

F

E B C

图2

0

1∠ABE, A 2D 1取DE的中点F,连AF,则AF=FD=DE,可证得△AFD,

2△ABF均为等腰三角形,由此结论得证.

证明:DE的中点F,连AF,则AF=FD=又因为∠CBE=

1DE,所以∠DAF=∠ADF,又因为AD∥BC,所以∠CBE=∠ADF,21∠ABE,所以∠ABF=∠AFB,所以AF=AB,即DE=2AB. 2评析:本题是有直角、无中点的情况,这时要取直角三角形的斜边上的中点,再连结该点与直角顶点,然后用性质来解决问题.

三、有中点、无直角,造直角,用性质

D 例3.如图3,梯形ABCD中,AB∥CD,M、N是AB、CD的中点, ∠ADC+∠BCD=270,

求证:MN=

0

P K N M 图3

C 1(AB-CD). 20

A B

证明:延长AD、BC交于P,∵∠ADC+∠BCD=270,

∴∠APB=90,连结PN,连结PM交DC于K,下证N和K重合,则P、N、M三点共线, ∵PN、PM分别是直角三角形△PDC、△PAB斜边上的中线,∴PN=CN=DN=

0

11CD,PM=BM=DM=AB, 22∵∠PNC=2∠PDN=2∠A,∠PMB=∠PKC=2∠A,∴∠PNC=∠PKC,∴N、K重合, ∴MN=PM-PN=

1(AB-CD). 20

评析:本题只有中点,而没有直角,这时要想方设法构造直角,应用性质,而条件中正好有角的关系“∠ADC+∠BCD=270 ”,这样问题就易以解决了

四、逆用性质解题

例4.如图4,延长矩形ABCD的边CB至E,使CE=CA, P是AE的中点.

求证:BP⊥DP.

证明:如图3,连结BD交AC于点O,连结PO, ∵四边形ABCD是矩形,∴AO=OC=OB=OD,

∵PA=PE,∴PO=

P A D O 图4

C E B 11EC,∵EC=AC,∴PO=BD, 22即OP=OB=OD,∴BP⊥DP.

评析:“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这个性质是众所周知的,而它的逆定理往往被大家所忽视,本题就是利用这个性质构造△PBD,证BD边的中线等于BD的一半.

请同学们试一试吧!

1.如图5,△ABC中,AB=AC,∠ABD=∠CBD,BD⊥DE于D,DE交BC于E,

A 1求证:CD=BE.

22.如图6,△ABC中,∠B=2∠C,AD⊥BC于D,M是BC的 中点,求证:AB=2DM. A M· C B D

图6

1.提示:结论中的BE是直角三角形的斜边,由

D B

图5

E C 1BE应想到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一2半”,故应取BE的中点F,连结DF,只需证明DC=DF,即证∠C=∠DFC. 2.提示:取AB的中点N,连结DN、MN即可.

直角三角形斜边上中线性质的应用

直角三角形斜边上中线的性质是直角三角形的一个重要性质,同时也是常考的知识点.它为证明线段相等、角相等、线段的倍分等问题提供了很好的思路和理论依据。下面谈谈直角三角形斜边上中线的性质及应用。

一、直角三角形斜边上中线的性质

1、性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.如图1,在Rt△BAC中,∠BAC=90?,D为1BC2BC的中点,则。

2、性质的拓展:如图1:因为D为BC中点,

AD?所以

BD?DC?1BC2,

1BC2所以AD=BD=DC=,

所以∠1=∠2,∠3=∠4, 因此∠ADB=2∠3=2∠4, ∠ADC=2∠1=2∠2。

因而可得如下几个结论:①直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形;②分成的两个等腰三角形的腰相等,两个顶角互补、底角互余,并且其中一个等腰三角形的顶角等于另一个等腰三角形底角的2倍. 二、性质的应用 1、求值

例1、(2004年江苏省苏州市中考)如图2,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,若CD=4,则AB= .

解析:由性质可知:CD所以AB=2CD=8.

例2、(2006年上海市中考)已知:如图3,在△ABC中,AD是BC边上的高,E为AC边上的中点,BC=14,AD=12,

sinB?45。求tan?EDC的值。

?1AB2,

解析:由性质拓展可知:∠EDC=∠C。要求tan∠EDC的值,可转化为求tan∠C的值。 在Rt△ADB中,所以AB=15。 由勾股定理得:

BD?AB2?AD2?152?122?9,

sinB?AD4?AB5,

所以DC=BC-BD=5。

AD12?DC5, 在Rt△ADC中,tan∠C=

12所以tan∠EDC=5。

2、证明线段相等

例3、(2004年上海市中考)如图4,在△ABC中,∠BAC=90°,延长BA到D点,使点E、F分别为边BC、AC的中点。

(1)求证:DF=BE;

(2)过点A作AG∥BC,交DF于G。求证:AG=DG。 分析:(1)因为E为BC的中点, 1BC所以BE=2。

AD?1AB2,

要证DF=BE,即为

1BC2连AE,AE=,只需证DF=AE。

因为EF为△ABC的中位线,

1//1?ABAB//AD。 所以EF2,而AD=2,所以EF?DF?1BC2,

故四边形AEFD为平行四边形。

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