? 题目
1． 一个（7，1）重复码，求其生成矩阵和监督矩阵以及码的最小距离dmin。
?100100110??101010010??，求其生成矩阵以及码的最小距离2． 一个线性分组码的监督矩阵为H???011100001???101011101??dmin。
3． 设一个（15，4）循环码的生成多项式g(x)?1?x?x5?x6?x10?x11。
（1） 求此码的监督多项式h(x)；
（2） 求此码的生成矩阵（非系统码和系统码形式）； （3） 求此码的监督矩阵。
?0011101???4． 一个（7，3）线性分组码的生成矩阵为G?0100111 ?????1001110?（1） 构造一个等价的系统码生成矩阵；
（2） 求其监督矩阵；
（3） 构造所有可能的伴随式S的表，并求其所对应的最大可能错误图样E （4） 求dmin，并说明它能可靠地纠几个错？
),求对应的码字； （5） 若信息位U?(101（6） 它与（7，4）汉明码的关系如何？
5． 已知一个（6，3）线性分组码的全部码字为001011，110011，010110，101110，100101，
111000，011101，000000。求该码的输出矩阵与监督矩阵，并讨论其纠错能力。
3)时，6． 设一个（7，4）循环码的生成多项式g(x)?x?x?1，当接收矢量为r?(1100100试问接收是否有错？如果有错，至少有几个错？该码能否纠这些错？并求译码器的码字
C?。 ?
答案
? 一个（7，1）重复码，求其生成矩阵和监督矩阵以及码的最小距离dmin。 1． 对于（7，1）重复码有(0000000)，(1111111)两种形式，
可以看出它的生成矩阵是G?(1111111)，又由于C1=C0;C2=C0;C3=C0;C4=C0;C5=C0;C6=C0,可知其监督矩阵为(求解方法：先对生成矩
阵转置，然后在其后面加上一单位矩阵即可)
?1?1??1H???1?1???1100000?010000??001000?(1111111)，d??7 ?min000100?(0000000)000010??000001???100100110??101010010??，求其生成矩阵以及码的最小距离2． 一个线性分组码的监督矩阵为H???011100001???101011101??dmin。
2. 解：
?1?1H???0??10010011110100101000110011100110001100?0??； 1??1?101100111000010000100??1?10??，所以P???00???1??11100011010110?0??；1??0??1?1经过基本矩阵变化为??0??1?11?11?T0Q?P??01??10??00小距离d?3。
01??1?000???10?；G??0??11??0?10???000001101?10001100??01000110?。由生成矩阵可知，最
?00101011?00010010??3.设一个（15，4）循环码的生成多项式g(x)?1?x?x?x?x（1） 求此码的监督多项式h(x)；
（2） 求此码的生成矩阵（非系统码和系统码形式）； （3） 求此码的监督矩阵。
3．解：
（1） 循环码（15，4）用1?x?x?x?x56105610?x11。
?x11去除1?x15得
h(x)?1?x?x2?x3?x4
?x3?g(x)??x3?x4?x8?x9?x13?x14??2??23781213?x?g(x)x?x?x?x?x?x???? （2） a非系统码的生成矩阵；G???x?g(x)??x?x2?x6?x7?x11?x12????561011?g(x)1?x?x?x?x?x????????rn?i是g(x)除xn?i所得余式
r14(x)?1?x4?x5?x9?x10r13(x)?1?x3?x5?x8?x10b系统码生成矩阵： 25710r12(x)?1?x?x?x?xr11(x)?1?x?x5?x6?x10?x14?r14(x)??x14?x10?13??1310x?r(x)x?x13???（3） 监督矩阵：G??12?x?r12(x)??x12?x10?11??1110??x?x?x?r11(x)????x9?x5?x4?1???x8?x5?x3?1? 752??x?x?x?1?65?x?x?x?1???x10?h(x)??x10?x11?x12?x13?x14??9??910111213?x?h(x)x?x?x?x?x????889101112?x?h(x)??x?x?x?x?x??7??7891011??x?h(x)??x?x?x?x?x??x6?h(x)??x6?x7?x8?x9?x10??5??5?6789H??x?h(x)???x?x?x?x?x?
?x4?h(x)??x4?x5?x6?x7?x8?????334567?x?h(x)??x?x?x?x?x??2??23456?x?h(x)x?x?x?x?x????2345?x?h(x)??x?x?x?x?x?????234h(x)1?x?x?x?x????
?0011101???4.一个（7，3）线性分组码的生成矩阵为G?0100111 ?????1001110?（1） 构造一个等价的系统码生成矩阵；
（2） 求其监督矩阵；
（3） 构造所有可能的伴随式S的表，并求其所对应的最大可能错误图样E （4） 求dmin，并说明它能可靠地纠几个错？
),求对应的码字； （5） 若信息位U?(101
（6） 它与（7，4）汉明码的关系如何？ 4．解：
?1001110???（1） 等价的系统生成矩阵为G???0100111?
?0011101????1011000????1110100?（2） 监督矩阵H?? ?1100010???0110001???c0?a2c1?a1c2?a0假设发送的信号是a0a1a2，则经编码后输出为c0c1c2c3c4c5c6，其中c3?a0?a2
c4?a0?a1?a2c5?a1?a2c6?a0?a1c3?c0?c2c3?c0?c2?0c4?c0?c1?c2c4?c0?c1?c2?0所以：，也就是
c5?c0?c1c5?c1?c0?0c6?c1?c2c6?c2?c1?0（3） 错误图样E?(e0e1e2e3e4e5e6)
S?HET对应关系如下：E?S
(0000000)?(0000)(0000001)?(0001)(0000010)?(0010)(0000100)?(0100)(0001000)?(1000) (0010000)?(1101)(0100000)?(0111)(1000000)?(1110)??????（4）dmin?n?k?7?3?4
r?int((dmin?1)/2)?1
? 可靠的纠正1个误码。
)对应码字为U?G?(1010011) （5）V?(101(6) 该码是（7，4）汉明码的对偶码
5.已知一个（6，3）线性分组码的全部码字为001011，110011，010110，101110，100101，111000，011101，000000。求该码的输出矩阵与监督矩阵，并讨论其纠错能力。 5．解：
任意选取3个线性关系的码字作为生成矩阵，其生成矩阵为：
?100101??
G??010110????001011??其监督矩阵为：
?110100??
H??011010????101001??因为n?k?6?3?3?2r?1?r?1，即能纠一位错误。
)时，6.设一个（7，4）循环码的生成多项式g(x)?x3?x?1，当接收矢量为r?(1100100试问接收是否有错？如果有错，至少有几个错？该码能否纠这些错？并求译码器的码字C?。
6．解：
接收是由错误的。
1?x2?1?x?x4mod(x3?x?1)
错误至少有一位。该码能纠正这个错误。
因为x?1?xmod(x?x?1)，所以译码器的输出为1100101。
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