信息论基础-练习与思考5

? 题目

1. 一个(7,1)重复码,求其生成矩阵和监督矩阵以及码的最小距离dmin。

?100100110??101010010??,求其生成矩阵以及码的最小距离2. 一个线性分组码的监督矩阵为H???011100001???101011101??dmin。

3. 设一个(15,4)循环码的生成多项式g(x)?1?x?x5?x6?x10?x11。

(1) 求此码的监督多项式h(x);

(2) 求此码的生成矩阵(非系统码和系统码形式); (3) 求此码的监督矩阵。

?0011101???4. 一个(7,3)线性分组码的生成矩阵为G?0100111 ?????1001110?(1) 构造一个等价的系统码生成矩阵;

(2) 求其监督矩阵;

(3) 构造所有可能的伴随式S的表,并求其所对应的最大可能错误图样E (4) 求dmin,并说明它能可靠地纠几个错?

),求对应的码字; (5) 若信息位U?(101(6) 它与(7,4)汉明码的关系如何?

5. 已知一个(6,3)线性分组码的全部码字为001011,110011,010110,101110,100101,

111000,011101,000000。求该码的输出矩阵与监督矩阵,并讨论其纠错能力。

3)时,6. 设一个(7,4)循环码的生成多项式g(x)?x?x?1,当接收矢量为r?(1100100试问接收是否有错?如果有错,至少有几个错?该码能否纠这些错?并求译码器的码字

C?。 ?

答案

? 一个(7,1)重复码,求其生成矩阵和监督矩阵以及码的最小距离dmin。 1. 对于(7,1)重复码有(0000000),(1111111)两种形式,

可以看出它的生成矩阵是G?(1111111),又由于C1=C0;C2=C0;C3=C0;C4=C0;C5=C0;C6=C0,可知其监督矩阵为(求解方法:先对生成矩

阵转置,然后在其后面加上一单位矩阵即可)

?1?1??1H???1?1???1100000?010000??001000?(1111111),d??7 ?min000100?(0000000)000010??000001???100100110??101010010??,求其生成矩阵以及码的最小距离2. 一个线性分组码的监督矩阵为H???011100001???101011101??dmin。

2. 解:

?1?1H???0??10010011110100101000110011100110001100?0??; 1??1?101100111000010000100??1?10??,所以P???00???1??11100011010110?0??;1??0??1?1经过基本矩阵变化为??0??1?11?11?T0Q?P??01??10??00小距离d?3。

01??1?000???10?;G??0??11??0?10???000001101?10001100??01000110?。由生成矩阵可知,最

?00101011?00010010??3.设一个(15,4)循环码的生成多项式g(x)?1?x?x?x?x(1) 求此码的监督多项式h(x);

(2) 求此码的生成矩阵(非系统码和系统码形式); (3) 求此码的监督矩阵。

3.解:

(1) 循环码(15,4)用1?x?x?x?x56105610?x11。

?x11去除1?x15得

h(x)?1?x?x2?x3?x4

?x3?g(x)??x3?x4?x8?x9?x13?x14??2??23781213?x?g(x)x?x?x?x?x?x???? (2) a非系统码的生成矩阵;G???x?g(x)??x?x2?x6?x7?x11?x12????561011?g(x)1?x?x?x?x?x????????rn?i是g(x)除xn?i所得余式

r14(x)?1?x4?x5?x9?x10r13(x)?1?x3?x5?x8?x10b系统码生成矩阵: 25710r12(x)?1?x?x?x?xr11(x)?1?x?x5?x6?x10?x14?r14(x)??x14?x10?13??1310x?r(x)x?x13???(3) 监督矩阵:G??12?x?r12(x)??x12?x10?11??1110??x?x?x?r11(x)????x9?x5?x4?1???x8?x5?x3?1? 752??x?x?x?1?65?x?x?x?1???x10?h(x)??x10?x11?x12?x13?x14??9??910111213?x?h(x)x?x?x?x?x????889101112?x?h(x)??x?x?x?x?x??7??7891011??x?h(x)??x?x?x?x?x??x6?h(x)??x6?x7?x8?x9?x10??5??5?6789H??x?h(x)???x?x?x?x?x?

?x4?h(x)??x4?x5?x6?x7?x8?????334567?x?h(x)??x?x?x?x?x??2??23456?x?h(x)x?x?x?x?x????2345?x?h(x)??x?x?x?x?x?????234h(x)1?x?x?x?x????

?0011101???4.一个(7,3)线性分组码的生成矩阵为G?0100111 ?????1001110?(1) 构造一个等价的系统码生成矩阵;

(2) 求其监督矩阵;

(3) 构造所有可能的伴随式S的表,并求其所对应的最大可能错误图样E (4) 求dmin,并说明它能可靠地纠几个错?

),求对应的码字; (5) 若信息位U?(101

(6) 它与(7,4)汉明码的关系如何? 4.解:

?1001110???(1) 等价的系统生成矩阵为G???0100111?

?0011101????1011000????1110100?(2) 监督矩阵H?? ?1100010???0110001???c0?a2c1?a1c2?a0假设发送的信号是a0a1a2,则经编码后输出为c0c1c2c3c4c5c6,其中c3?a0?a2

c4?a0?a1?a2c5?a1?a2c6?a0?a1c3?c0?c2c3?c0?c2?0c4?c0?c1?c2c4?c0?c1?c2?0所以:,也就是

c5?c0?c1c5?c1?c0?0c6?c1?c2c6?c2?c1?0(3) 错误图样E?(e0e1e2e3e4e5e6)

S?HET对应关系如下:E?S

(0000000)?(0000)(0000001)?(0001)(0000010)?(0010)(0000100)?(0100)(0001000)?(1000) (0010000)?(1101)(0100000)?(0111)(1000000)?(1110)??????(4)dmin?n?k?7?3?4

r?int((dmin?1)/2)?1

? 可靠的纠正1个误码。

)对应码字为U?G?(1010011) (5)V?(101(6) 该码是(7,4)汉明码的对偶码

5.已知一个(6,3)线性分组码的全部码字为001011,110011,010110,101110,100101,111000,011101,000000。求该码的输出矩阵与监督矩阵,并讨论其纠错能力。 5.解:

任意选取3个线性关系的码字作为生成矩阵,其生成矩阵为:

?100101??

G??010110????001011??其监督矩阵为:

?110100??

H??011010????101001??因为n?k?6?3?3?2r?1?r?1,即能纠一位错误。

)时,6.设一个(7,4)循环码的生成多项式g(x)?x3?x?1,当接收矢量为r?(1100100试问接收是否有错?如果有错,至少有几个错?该码能否纠这些错?并求译码器的码字C?。

6.解:

接收是由错误的。

1?x2?1?x?x4mod(x3?x?1)

错误至少有一位。该码能纠正这个错误。

因为x?1?xmod(x?x?1),所以译码器的输出为1100101。

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