高中数学 2-3-1双曲线的标准方程同步练习 新人教B版选修2-1

一、选择题

1.已知点F1(0,-13),F2(0,13),动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26,则动点P的轨迹方程为( )

A.y=0 B.y=0(|x|≥13) C.x=0(|y|≥13) D.以上都不对 [答案] C

[解析] ||PF1|-|PF2||=|F1F2|,∴x=0. 2.双曲线-=1的焦点坐标为( )

169A.(-7,0),(7,0) B.(0,-7),(0,7) C.(-5,0),(5,0) D.(0,-5),(0,5) [答案] C

[解析] 16+9=c=25,∴c=5,

∵焦点在x轴上,∴(-5,0),(5,0)为焦点坐标.

3.已知定点A,B,且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为( ) 13A.B. 227

C.D.5 2[答案] C

[解析] 点P的轨迹是以A,B为焦点的双曲线的右支,如右图所示,当P与双曲线右37

支顶点M重合时,|PA|最小,最小值为a+c=+2=.故选C.

22

2

x2y2

x2y2

4.已知双曲线方程为2-2=1,点A,B在双曲线的右支上,线段AB经过双曲线的右

ab焦点F2,|AB|=m,F1为另一焦点,则△ABF1的周长为( )

A.2a+2mB.4a+2m C.a+mD.2a+4m [答案] B

1

[解析] 由双曲线定义知|AF1|-|AF2|=2a, |BF1|-|BF2|=2a,

∴|AF1|+|BF1|-(|AF2|+|BF2|)=4a. 又|AF1|+|BF1|=AB=m,

∴△ABF1周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=4a+2m.

5.设P为双曲线x-=1上的一点,F1,F2是该双曲线的两个焦点.若|PF1|:|PF1|

12=3:2,则△PF1F2的面积为( )

A.63B.12 C.123D.24 [答案] B

[解析] 设|PF1|=x,|PF2|=y,

2

y2

x-y=2,??则?x3

=,??y2

解得?

?x=6???y=4

又|F1F2|=213

由余弦定理得cos∠F1PF2=

16+36-4×13

=0.

2×4×6

11

∴S△PF1F2=x·y·sin∠F1PF2=4×6××1=12.

22

x2y2x2y2

6.若椭圆+=1(m>n>0)和双曲线-=1(a>0.b>0)有相同的焦点,P是两曲线上

mnab的一个交点,则|PF1|·|PF2|的值为( )

A.m-aB.m-b C.m-aD.m-b [答案] A

[解析] 由题意|PF1|+|PF2|=2m,|PF1|-|PF2|=2a整理得|PF1|·|PF2|=m-a,选A.

7.方程+=1所表示的曲线为C,有下列命题: 4-tt-2①若曲线C为椭圆,则24或t<2; ③曲线C不可能是圆;

④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,则3

2

2

x2y2

2

C.②④ D.①②④ [答案] C

[解析] 若C为圆,则4-t=t-2>0,∴t=3. 当t=3,C表示圆,∴③不正确. 4-t>0,??

若C为椭圆,则?t-2>0,

??4-t≠t-2.∴2

322

8.设θ∈(π,π)则关于x,y的方程xcscθ-ysecθ=1 所表示的曲线是( )

4A.焦点在y轴上的双曲线 B.焦点在x轴上的双曲线 C.长轴在y轴上的椭圆 D.焦点在x轴上的椭圆 [答案] C

x2y23π[解析] 方程即是+=1,因θ∈(,π),∴sinθ>0,cosθ<0,且

sinθ-cosθ4

-cosθ>sinθ,故方程表示长轴在y轴上的椭圆,故答案为C.

9.已知平面内有一定线段AB,其长度为4,动点P满足|PA|-|PB|=3,O为AB的中点,则|PO|的最小值为( )

3

A.1 B.

2C.2 D.4 [答案] B

[解析] 由已知,P点轨迹为以A,B为焦点,2a=3的双曲线一支,顶点到原点距离最3

小,∴|PO|的最小值为,故选B.

2

→→2

10.设F1,F2是双曲线-y=1的两个焦点,点P在双曲线上,且PF1·PF2=0,则

4|PF1|·|PF2|的值等于( )

A.2 B.22 C.4 D.8 [答案] A

→→→→

[解析] ∵PF1·PF2=0,∴PF1⊥PF2.

3

x2

又||PF1|-|PF2||=4,|PF1|+|PF2|=20,

∴(|PF1|-|PF2|)=|PF1|+|PF2|-2|PF1|·|PF2|=20-2|PF1|·|PF2|=16, ∴|PF1|·|PF2|=2. 二、填空题

11.双曲线8kx-ky=8的一个焦点为(0,3) ,那么k的值为________. [答案] k=-1

81

[解析] 方程为-=1,∵焦点为(0,3),∴k<0且(-)+(-)=9,∴k=-1.

18kk2

22

2

2

22

x2y2k2

k2

12.若双曲线x-y=1右支上一点P(a,b)到直线y=x的距离是2,则a+b=________.

1

[答案]

2

|a-b|

[解析] p(a,b)点到y=x的距离d=,

2∵P(a,b)在y=x下方,

122

∴a>b∴a-b=2,又a-b=1,∴a+b=.

2

13.设圆过双曲线-=1的一个顶点和一个焦点,圆心在此双曲线上,则圆心到双

916曲线中心的距离是________.

[答案]

16 3

x2y2

[解析] 如图所示,设圆心P(x0,y0),则|x0|=得y0=

2

c+a2

=4,代入-=1,

916

x2y2

16×7

, 9

∴|OP|=x0+y0=

2

2

16. 3

14.双曲线-=1的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上,若PF1⊥F1F2,则点P到

169

x2y2

x轴的距离为______.

4

9

[答案]

4

[解析] ∵F1(-5,0),PF1⊥F1F2.设P(-5,yP) 25yP8192

∴-=1,即yP=,∴|yP|=, 1691649∴点P到x轴的距离为. 4三、解答题

15.已知方程kx+y=4,其中k为实数,对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.

[解析] 当k=0时,y=±2,表示两条与x轴平行的直线. 当k=1时,方程为x+y=4,表示圆心在原点上,半径为2的圆. 当k<0时,方程+=1,表示焦点在y轴上的双曲线.

44

2

2

2

2

2

y2x2

k当0

44

x2y2k当k>1时,方程+=1,表示焦点在y轴上的椭圆.

44

x2y2k1

16.在△ABC中,BC固定,A点为动点,设|BC|=8,且|sinC-sinB|=sinA,求A点

2的轨迹方程.

[解析] 以BC所在直线为x轴,以线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,则

abcB(-4,0),C(4,0).设A(x,y),则由正弦定理知,sinA=,sinB=,sinC=,代入

2R2R2R11

|sinC-sinB|=sinA,得|c-b|=a=4,且|BC|=8>4,故由双曲线定义知,A点在以B,

22

22

C为焦点的双曲线上,2a0=4,∴a0=2,2c0=8,c0=4,∴b20=c0-a0=16-4=12,即点A的轨迹方程为-=1(y≠0).

412

17.设双曲线-=1,F1,F2是其两个焦点,点M在双曲线上.

49(1)若∠F1MF2=90°,求△F1MF2的面积;

(2)若∠F1MF2=60°时,△F1MF2的面积是多少?若∠F1MF2=120°时,△F1MF2的面积又是多少?

[解析] (1)由双曲线方程知a=2,b=3,c=13,

5

x2y2

x2y2

联系客服:779662525#qq.com(#替换为@) 苏ICP备20003344号-4