一、选择题
1．已知点F1(0，－13)，F2(0,13)，动点P到F1与F2的距离之差的绝对值为26，则动点P的轨迹方程为( )
A．y＝0 B．y＝0(|x|≥13) C．x＝0(|y|≥13) D．以上都不对 [答案] C
[解析] ||PF1|－|PF2||＝|F1F2|，∴x＝0. 2．双曲线－＝1的焦点坐标为( )
169A．(－7，0)，(7，0) B．(0，－7)，(0，7) C．(－5,0)，(5,0) D．(0，－5)，(0,5) [答案] C
[解析] 16＋9＝c＝25，∴c＝5，
∵焦点在x轴上，∴(－5,0)，(5,0)为焦点坐标．
3．已知定点A，B，且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为( ) 13A.B. 227
C.D．5 2[答案] C
[解析] 点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，如右图所示，当P与双曲线右37
支顶点M重合时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.故选C.
22
2
x2y2
x2y2
4．已知双曲线方程为2－2＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右
ab焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2mB．4a＋2m C．a＋mD．2a＋4m [答案] B
1
[解析] 由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a， |BF1|－|BF2|＝2a，
∴|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝4a. 又|AF1|＋|BF1|＝AB＝m，
∴△ABF1周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m.
5．设P为双曲线x－＝1上的一点，F1，F2是该双曲线的两个焦点．若|PF1|：|PF1|
12＝3：2，则△PF1F2的面积为( )
A．63B．12 C．123D．24 [答案] B
[解析] 设|PF1|＝x，|PF2|＝y，
2
y2
x－y＝2，??则?x3
＝，??y2
解得?
?x＝6???y＝4
又|F1F2|＝213
由余弦定理得cos∠F1PF2＝
16＋36－4×13
＝0.
2×4×6
11
∴S△PF1F2＝x·y·sin∠F1PF2＝4×6××1＝12.
22
x2y2x2y2
6．若椭圆＋＝1(m>n>0)和双曲线－＝1(a>0.b>0)有相同的焦点，P是两曲线上
mnab的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值为( )
A．m－aB．m－b C．m－aD.m－b [答案] A
[解析] 由题意|PF1|＋|PF2|＝2m，|PF1|－|PF2|＝2a整理得|PF1|·|PF2|＝m－a，选A.
7．方程＋＝1所表示的曲线为C，有下列命题： 4－tt－2①若曲线C为椭圆，则2
④若曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，则3 2 2 x2y2 2 C．②④ D．①②④ [答案] C [解析] 若C为圆，则4－t＝t－2>0，∴t＝3. 当t＝3，C表示圆，∴③不正确． 4－t>0，?? 若C为椭圆，则?t－2>0， ??4－t≠t－2.∴2 322 8．设θ∈(π，π)则关于x，y的方程xcscθ－ysecθ＝1 所表示的曲线是( ) 4A．焦点在y轴上的双曲线 B．焦点在x轴上的双曲线 C．长轴在y轴上的椭圆 D．焦点在x轴上的椭圆 [答案] C x2y23π[解析] 方程即是＋＝1，因θ∈(，π)，∴sinθ>0，cosθ<0，且 sinθ－cosθ4 －cosθ>sinθ，故方程表示长轴在y轴上的椭圆，故答案为C. 9．已知平面内有一定线段AB，其长度为4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，O为AB的中点，则|PO|的最小值为( ) 3 A．1 B. 2C．2 D．4 [答案] B [解析] 由已知，P点轨迹为以A，B为焦点，2a＝3的双曲线一支，顶点到原点距离最3 小，∴|PO|的最小值为，故选B. 2 →→2 10．设F1，F2是双曲线－y＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且PF1·PF2＝0，则 4|PF1|·|PF2|的值等于( ) A．2 B．22 C．4 D．8 [答案] A →→→→ [解析] ∵PF1·PF2＝0，∴PF1⊥PF2. 3 x2 又||PF1|－|PF2||＝4，|PF1|＋|PF2|＝20， ∴(|PF1|－|PF2|)＝|PF1|＋|PF2|－2|PF1|·|PF2|＝20－2|PF1|·|PF2|＝16， ∴|PF1|·|PF2|＝2. 二、填空题 11．双曲线8kx－ky＝8的一个焦点为(0,3) ，那么k的值为________． [答案] k＝－1 81 [解析] 方程为－＝1，∵焦点为(0,3)，∴k<0且(－)＋(－)＝9，∴k＝－1. 18kk2 22 2 2 22 x2y2k2 k2 12．若双曲线x－y＝1右支上一点P(a，b)到直线y＝x的距离是2，则a＋b＝________. 1 [答案] 2 |a－b| [解析] p(a，b)点到y＝x的距离d＝， 2∵P(a，b)在y＝x下方， 122 ∴a>b∴a－b＝2，又a－b＝1，∴a＋b＝. 2 13．设圆过双曲线－＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双 916曲线中心的距离是________． [答案] 16 3 x2y2 [解析] 如图所示，设圆心P(x0，y0)，则|x0|＝得y0＝ 2 c＋a2 ＝4，代入－＝1， 916 x2y2 16×7 ， 9 ∴|OP|＝x0＋y0＝ 2 2 16. 3 14．双曲线－＝1的两个焦点为F1，F2，点P在双曲线上，若PF1⊥F1F2，则点P到 169 x2y2 x轴的距离为______． 4 9 [答案] 4 [解析] ∵F1(－5,0)，PF1⊥F1F2.设P(－5，yP) 25yP8192 ∴－＝1，即yP＝，∴|yP|＝， 1691649∴点P到x轴的距离为. 4三、解答题 15．已知方程kx＋y＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型． [解析] 当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线． 当k＝1时，方程为x＋y＝4，表示圆心在原点上，半径为2的圆． 当k<0时，方程＋＝1，表示焦点在y轴上的双曲线． 44 2 2 2 2 2 y2x2 k当0 44 x2y2k当k>1时，方程＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆． 44 x2y2k1 16．在△ABC中，BC固定，A点为动点，设|BC|＝8，且|sinC－sinB|＝sinA，求A点 2的轨迹方程． [解析] 以BC所在直线为x轴，以线段BC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则 abcB(－4,0)，C(4,0)．设A(x，y)，则由正弦定理知，sinA＝，sinB＝，sinC＝，代入 2R2R2R11 |sinC－sinB|＝sinA，得|c－b|＝a＝4，且|BC|＝8>4，故由双曲线定义知，A点在以B， 22 22 C为焦点的双曲线上，2a0＝4，∴a0＝2,2c0＝8，c0＝4，∴b20＝c0－a0＝16－4＝12，即点A的轨迹方程为－＝1(y≠0)． 412 17．设双曲线－＝1，F1，F2是其两个焦点，点M在双曲线上． 49(1)若∠F1MF2＝90°，求△F1MF2的面积； (2)若∠F1MF2＝60°时，△F1MF2的面积是多少？若∠F1MF2＝120°时，△F1MF2的面积又是多少？ [解析] (1)由双曲线方程知a＝2，b＝3，c＝13， 5 x2y2 x2y2