精品文档
高中数学极坐标与参数方程知识点汇编及题型汇总
【知识汇编】
x?x0?tcos?参数方程：直线参数方程：?(t为参数) ??y?y0?tsin?(x0,y0)为直线上的定点， t为直线上任一点
(x,y)到定点(x0,y0)的数量；
x?a?rcos?圆锥曲线参数方程：圆的参数方程：?(?为参数)(a,b)为圆心，r为半径； ??y?b?rsin?x?acos?椭圆x2?y2?1的参数方程是?(?为参数)； ?22ab?y?bsin?x2y2x?asec?双曲线2-2?1的参数方程是?(?为参数)； ?ab?y?btan?x?2pt抛物线y2?2px的参数方程是?(t为参数) ??y?2pt2极坐标与直角坐标互化公式：
若以直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，点P的极坐标为(?,?)，直角
y坐标为(x,y)，则x??cos?, y??sin?, ?2?x2?y2, tan??x。
【题型1】参数方程和极坐标基本概念
1．已知曲线C
??x?2?5cos???y?1?5sin?的参数方程为? (?为参数)，
以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 1)求曲线c的极坐标方程
2)若直线l的极坐标方程为?(sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。
??x?2?5cos???y?1?5sin?解：(1)∵曲线c的参数方程为? (α为参数)
∴曲线c的普通方程为(x-2)+(y-1)=5
22
?x??cos??将?y??sin? 代入并化简得：?=4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为?=4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0
2∴圆心c到直线l的距离为d=2=2∴弦长为25?2=23 .
精品文档
精品文档
2．极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已
知曲线C1的极坐标方程为ρ＝22sin（θ＋4），曲线C2的极坐标方程为ρsinθ＝a（a＞0），射线θ＝?，θ＝?＋4，θ＝?－点O的四点A，B，C，D．
（1）若曲线C1关于曲线C2对称，求a的值，并把曲线C1和C2化成直角坐标方程； （2）求｜OA｜·｜OC｜＋｜OB｜·｜OD｜的值． 解：（1）C1：(x?1)?(y?1)?2， C2：y?a， 因为曲线C1关于曲线C2对称，a?1，C2：y?1 （2）
|OA|?22sin(??22???4，θ＝2＋?与曲线C1分别交异于极
??)4；
|OB|?22sin(???2)?22cos?
|OC|?22sin?，
|OD|?22sin(??3??)?22cos(??)44
|OA|?|OC|?|OB|?|OD|?42
【题型2】直线参数方程几何意义的应用
1?x??2?t?2???y?2?3txOy中，直线l的参数方程为??21.在平面直角坐标系
（t为参数），直线l与曲
22(y?2)?x?1交于A，B两点. C线：
（1）求
AB的长；
3????22,?4?，求轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，设点P的极坐标为?（2）在以O为极点，x点P到线段AB中点M的距离.
1?x??2?t，?2???y?2?3t，?2的参数方程为?（t
解：（1）直线l为参数），
2代入曲线C的方程得t?4t?10?0．
设点A，B对应的参数分别为t1，t2，则t1?t2??4，t1t2??10，
精品文档
精品文档
所以|AB|?|t1?t2|?214．
2)， （2）由极坐标与直角坐标互化公式得点P的直角坐标为(?2，t1?t2??2所以点P在直线l上，中点M对应参数为2，
由参数t的几何意义，所以点P到线段AB中点M的距离|PM|?2． 2．已知直线l经过点P(1,1),倾斜角???，
6（1）写出直线l的参数方程。
（2）设l与圆x2?y2?4相交与两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积。
x?1?tcos，即?x?1?解：（1）直线的参数方程为???6??y?1?tsin??6????3t 2??y?1?1t??2321t)?(1?t)2?4,t2?(3?1)t?2?0 22x?1? （2）把直线???3t代入x22??y?1?1t??2?y2?4得(1?t1t2??2，则点P到A,B两点的距离之积为2
3．设经过点P(?1,0)的直线l交曲线C：(?为参数)于A、B两点．
（1）写出曲线C的普通方程；
（2）当直线l的倾斜角??60时，求|PA|?|PB|与|PA|?|PB|的值．
x2y2??1C43解：（1）：．
1?x??1?t?2???y?3t?2（2）设l：???x?2cos????y?3sin?（t为参数）
22联立得：5t?4t?12?0
|PA|?|PB|?|t1?t2|??t1?t2??4t1t2?1612|PA|?|PB|?|t1t2|?5，5
4．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P的直角坐标
??(3,)为(1,2)，点M的极坐标为2，若直线l过点P，且倾斜角为6，圆C以M为圆心，3为半径．
（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程； （2）设直线l与圆C相交于A,B两点，求
精品文档
PA?PB．