2016年全国高中数学联赛（B卷）试题及答案
一试
一、选择题：（每小题8分，共64分）
1.等比数列?an?的各项均为正数，且a1a3?a2a6?2a32?36,则a2?a4的值为 ． 答案：6．
解：由于36?a1a3?a2a6?2a32?a22?a42?2a2a4??a2?a4?,且a2?a4?0,故a2?a4?6. 另解：设等比数列的公比为q，则a2?a6?a1q?a1q5.又因 36?a1a3?a2a6?2a32?a1?a1q2?a1q?a1q5?2a1q2??a1q??2?a1q?a1q2332321112????aq???aq?aq???a22?a4?,2
而a2?a4?0，从而a2?a4?6.
2.设A??a|?1?a?2?，则平面点集B???x,y?|x,y?A,x?y?0?的面积为 ．
答案：7．
解：点集B如图中阴影部分所示，其面积为 S正方形MNPQ?SMRS1?3?3??2?2?7.
2
3.已知复数z满足z2?2z?z?z（z表示z的共轭复数），则z的所有可能值的积为 ． 答案：3．
解：设z?a?bi?a,b?R?.由z2?2z?z知， a2?b2?2abi?2a?2bi?a?bi,
比较虚、实部得a2?b2?a?0,2ab?3b?0.又由z?z知b?0，从而有
2a?3?0,即a??，进而b??a2?a??323. 2?33??33???i????i?3. 于是，满足条件的复数z的积为??22??22??????4.已知f?x?,g?x?均为定义在R上的函数，f?x?的图像关于直线x?1对称，g?x?的图
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像关于点?1,?2?中心对称，且f?x??g?x??9x?x3?1，则f?2?g?2?的值为 ．
答案：2016. 解：由条件知
f?0??g?0??2, ①
f?2??g?2??81?8?1?90. ②
由f?x?,g?x?图像的对称性，可得f?0??f?2?,g?0??g?2???4,结合①知， f?2??g?2??4?f?0??g?0??2. ③
由②、③解得f?2??48,g?2??42,从而f?2?g?2??48?42?2016.
另解：因为
f?x??g?x??9x?x3?1， ①
所以
f?2??g?2??90. ②
因为f?x?的图像关于直线x?1对称，所以 f?x??f?2?x?. ③
又因为g?x?的图像关于点?1,?2?中心对称，所以函数h?x??g?x?1??2是奇函数，h??x???h?x?，g??x?1??2????g?x?1??2??，从而
g?x???g?2?x??4. ④
将③、④代入①，再移项，得 f?2?x??g?2?x??9x?x3?5. ⑤
在⑤式中令x?0，得
f?2??g?2??6. ⑥
由②、⑥解得f?2??48,g?2??46.于是f?2?g?2??2016.
5.将红、黄、蓝3个球随机放入5个不同的盒子A,B,C,D,E中，恰有两个球放在同一盒子的概率为 ．
解：样本空间中有53?125个元素．而满足恰有两个球放在同一盒子的元素个数为
6012C32?P52?60.过所求的概率为p??.
125256.在平面直角坐标系xOy中，圆C1:x2?y2?a?0关于直线l对称的圆为
2
C2:x2?y2?2x?2ay?3?0,则直线l的方程为 ．
答案：2x?4y?5?0.
解：C1,C2的标准方程分别为
C1:x2?y2?1,C2:?x?1???y?a??a2?2.
由于两圆关于直线l对称，所以它们的半径相等．因此a?a2?2?0,解得a?2.故C1,C2的圆心分别是O1?0,0?,O2??1,2?.直线l就是线段O1O2的垂直平分线，它通过O1O2的中点?1?M??,1?，由此可得直线l的方程是2x?4y?5?0. ?2?7.已知正四棱锥V-ABCD的高等于AB长度的一半，M是侧棱VB的中点，N是侧棱VD上点，满足DN?2VN，则异面直线AM,BN所成角的余弦值为 ．
uuuruuuruuur解：如图，以底面ABCD的中心O为坐标原点，AB,BC,OV的方向为x,y,z轴的正向，
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zVNDOAB
yMCx建立空间直角坐标系．不妨设AB?2,此时高VO?1,从而
A??1,?1,0?,B?1,?1,0?,D??1,1,0?,V?0,0,1?.
?111??112?由条件知M?,?,?,N??,,?，因此
?222??333?uuuur?311?uuur?442?AM??,,?,BN???,,?.
?222??333?设异面直线AM,BN所成的角为?，则
uuuuruuurAM?BN?111cos??uuuu?. ruuur?1111AM?BN?223