第4讲 导数的热点问题
利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题，高考中常与函数零点、方程根及不等式相结合，难度较大.
热点一 利用导数证明不等式
用导数证明不等式是导数的应用之一，可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最值，以及构造函数解题的能力．
例1 已知函数f(x)＝(ln x－k－1)x(k∈R)． (1)当x>1时，求f(x)的单调区间和极值；
(2)若对于任意x∈[e，e2]，都有f(x)<4ln x成立，求k的取值范围； (3)若x1≠x2，且f(x1)＝f(x2)，证明：x1x2 x①当k≤0时，因为x>1，所以f′(x)＝ln x－k>0， 函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)，无单调递减区间，无极值； ②当k>0时，令ln x－k＝0，解得x＝ek， 当1 所以函数f(x)的单调递减区间是(1，ek)， 单调递增区间是(ek，＋∞)， 在区间(1，＋∞)上的极小值为f(ek)＝(k－k－1)ek＝－ek，无极大值． (2)解 由题意，f(x)－4ln x<0， 即问题转化为(x－4)ln x－(k＋1)x<0对于x∈[e，e2]恒成立． ?x－4?ln x 即k＋1>对x∈[e，e2]恒成立． x?x－4?ln x4ln x＋x－4 令g(x)＝，则g′(x)＝， xx24 令t(x)＝4ln x＋x－4，x∈[e，e2]，则t′(x)＝＋1>0， x所以t(x)在区间[e，e2]上单调递增， 故t(x)min＝t(e)＝e－4＋4＝e>0，故g′(x)>0， 所以g(x)在区间[e，e2]上单调递增， 8 函数g(x)max＝g(e2)＝2－2. e ?x－4?ln x 要使k＋1>对于x∈[e，e2]恒成立， x8 只要k＋1>g(x)max，所以k＋1>2－2， e8 1－2，＋∞?. 即实数k的取值范围为??e?(3)证明 因为f(x1)＝f(x2)， 由(1)知，函数f(x)在区间(0，ek)上单调递减， 在区间(ek，＋∞)上单调递增，且f(ek1)＝0. ＋ 不妨设x1 ＋ e2ke2kk 要证x1x2 x1x1 2k 因为f(x)在区间(ek，＋∞)上单调递增， e?所以f(x2) 2k e?又f(x1)＝f(x2)，即证f(x1) 2k2keee2k????构造函数h(x)＝f(x)－f ?x?＝(ln x－k－1)x－?ln x－k－1?， x 2k 即h(x)＝xln x－(k＋1)x＋e2k? 2k ln xk－1? ，x∈(0，ek)． －x??x ?x2－e2k?1－ln xk－1??h′(x)＝ln x＋1－(k＋1)＋e ?x2＋x2?＝(ln x－k)x2， 因为x∈(0，ek)，所以ln x－k<0，x2 k k 2k e?e??所以f(x1) ?x1??x1?， 所以x1x2 思维升华 用导数证明不等式的方法 (1)利用单调性：若f(x)在[a，b]上是增函数，则①?x∈[a，b]，则f(a)≤f(x)≤f(b)；②对?x1，x2∈[a，b]，且x1 (2)利用最值：若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m)，则对?x∈D，有f(x)≤M(或f(x)≥m)． (3)证明f(x) 2k2k 跟踪演练1 (2017·全国Ⅱ)已知函数f(x)＝ax2－ax－xln x，且f(x)≥0. (1)求a； (2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e2 － － (1)解 f(x)的定义域为(0，＋∞)， 设g(x)＝ax－a－ln x，则f(x)＝xg(x)，f(x)≥0等价于g(x)≥0， 1 因为g(1)＝0，g(x)≥0，故g′(1)＝0，而g′(x)＝a－，g′(1)＝a－1＝0，得a＝1. x1 若a＝1，则g′(x)＝1－. x 当0 所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0. 综上，a＝1. (2)证明 由(1)知f(x)＝x2－x－xln x， f′(x)＝2x－2－ln x， 1 设h(x)＝2x－2－ln x，则h′(x)＝2－. x1 0，?时，h′(x)<0， 当x∈??2?1 ，＋∞?时，h′(x)>0. 当x∈??2? 11 0，?上单调递减，在?，＋∞?上单调递增． 所以h(x)在??2??2?1?－ 又h(e2)>0，h??2?<0，h(1)＝0， 11 0，?上有唯一零点x0，在?，＋∞?上有唯一零点1，当x∈(0，x0)时，h(x)>0；所以h(x)在? ?2??2?当x∈(x0，1)时，h(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0. 因为f′(x)＝h(x)， 所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点． 由f′(x0)＝0，得ln x0＝2(x0－1)， 故f(x0)＝x0(1－x0)． 110，?，得f(x0)<. 由x0∈??2?4 因为x＝x0是f(x)在(0,1)上的最大值点， 由e1∈(0,1)，f′(e1)≠0，得f(x0)>f(e1)＝e2. － － － － 所以e2 － －