4.1.2圆的一般方程
三维目标：
知识与技能 ： (1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程
的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．
2
(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能
用待定系数法求圆的方程。
(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。
过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及
分析解决问题的实际能力。
情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励
学生创新，勇于探索。
教学重点：圆的一般方程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已
知条件确定方程中的系数，D、E、F．
教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用
王新敞教 具：多媒体、实物投影仪 王新敞教学过程：
课题引入：
问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。
利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。
探索研究：
请同学们写出圆的标准方程：
(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．
把圆的标准方程展开，并整理：
x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．
取D??2a,E??2b,F?a?b?r得
222x2?y2?Dx?Ey?F?0 ①
这个方程是圆的方程．
反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得
D2E2D2?E2?4F(x?)?(y?)? ② (配方过程由学生去完成)这个方程是不是
224表示圆？
(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当D2?E2?4F?0时，表示以（--1ED2?E2?4F为半径的圆； ）为圆心,22D，2（2）当D?E?4F?0时，方程只有实数解x??（-ED，-）;
2222DE，y??，即只表示一个点22（3）当D?E?4F?0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形 22王新敞综上所述，方程x?y?Dx?Ey?F?0表示的曲线不一定是圆 22王新敞22只有当D?E?4F?0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x?y?Dx?Ey?F?022的表示圆的方程称为圆的一般方程?x?1??y?4
22王新敞我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳) (1)①x2和y2的系数相同，不等于0． ②没有xy这样的二次项．
(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．
(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。 知识应用与解题研究：
例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。
?1?4x2?4y2?4x?12y?9?0 22?2?4x?4y?4x?12y?11?0学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于?1?4x2?4y2?4x?12y?9?0来说，这里的
9D??1,E?3,F?而不是D=-4,E=12,F=9.
4例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程 王新敞解：设所求的圆的方程为：x?y?Dx?Ey?F?0
22，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面∵A(0,0),B(11的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，
?F?0?即?D?E?F?2?0 ?4D?2E?F?20?0?解此方程组，可得：D??8,E?6,F?0 王新敞∴所求圆的方程为：x?y?8x?6y?0 22王新敞r?1DFD2?E2?4F?5；??4,???3 222王新敞得圆心坐标为（4，-3）.
22或将x?y?8x?6y?0左边配方化为圆的标准方程，(x?4)?(y?3)?25,从而
22求出圆的半径r?5，圆心坐标为(4,-3) 学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤： ①、根据提议，选择标准方程或一般方程；
②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组； ③、解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。
王新敞例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上?x?1??y?4运动，求
22线段AB的中点M的轨迹方程。
分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程